Законы Кеплера и закон всемирного тяготения

Великий немецкий астроном и математик И. Кеплер в начале 17 в. на основе исследования движения Марса, полученного по многолетним наблюдениям Марса Тихо Браге, сформулировал законы движения планет Солнечной системы.

Первый закон Кеплера: Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. (ПРИМЕР )

Второй закон Кеплера: Радиус-вектор планет за равные промежутки времени описывает равные площади. (ПРИМЕР )

Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. (ПРИМЕР )

Эти эмпирические формулировки справедливы не только для движения планет вокруг Солнца, но и для движения спутников планет. В этом случае центральным телом будет являться планета, например, Земля. Законы Кеплера послужили исходным материалом для вывода основных законов механики и закона всемирного тяготения. Сам закон был выведен Ньютоном на основании предположения, что сила, определяющая движение планет, и сила, определяющая падение тел на Земле, одна и та же.

Закон всемирного тяготения гласит, что каждая масса M₁ притягивается к другой массе M₂ во Вселенной с силой равной:

, где

G – гравитационная постоянная, имеющая величину 6,67·10^-11 н·м²/кг²

 – вектор, идущий от M₁ к M₂ .

Сила всемирного тяготения - центральная сила: она направлена по линии, соединяющей две материальные точки.

При решении задачи Кеплера (нахождения орбит движения 2-х тел, силы взаимодействия между которыми определяются законом обратных квадратов), надо учитывать, что двигаться будут оба тела относительно центра масс O (рис.1.1.)

Рисунок 1.1.

Движение двух тел вокруг центра масс O

Эта задача может быть сведена к задаче о движении одного тела имеющего приведенную массу:

Ее решение представляет собой уравнение конического сечения (эллипс, окружность, парабола или гипербола).
Если M₁ << M², то центр масс практически совпадает с центром центрального тела и его можно считать неподвижным.

Скорость круговой орбиты можно найти из условия, что на планету (или спутник) движущуюся вокруг центрального тела действует сила тяготения, которая играет роль центростремительной силы, удерживающей тело на криволинейной траектории, и равная ей, но противоположно направленная центробежная сила.

или , , где

R – радиус круговой орбиты;

M₁ - масса планеты (спутника);

M₂ - масса центрального тела;

v₁ - скорость движения планеты (спутника) по круговой орбите. Эту скорость называют первой космической скоростью.

Скорость движения по круговой орбите можно выразить через период T и радиус орбиты R: v₁ = (2πR)/T.

Подставив это выражение в формулу первой космической скорости и, возведя обе части в квадрат, получим следующее выражение:

; или , это по существу и есть третий закон Кеплера. Для всех планетных орбит отношение является постоянной величиной. Используя это соотношение, по радиусу орбиты R и периоду T можно определить массу центрального тела M₂.

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, при которой орбита перестает быть замкнутой, и спутник, преодолев силу тяготения, покидает центральное тело. Эта скорость равна:

Движение по круговой орбите происходит, если спутник, находящийся в точке P на расстоянии R от центрального тела O (рис.1.2.), будет иметь скорость v_p ^ отрезку OP и равную первой космической скорости. Введя коэффициент α =, можно построить семейство орбит для различных скоростей vp. v_p/ v₁

Рисунок 1.2.

Орбиты, имеющие общую точку P, и разную скорость v_p = α·v₁

Если α = 1, то орбита круговая. Если α < 1, или α > 1, но < - орбита эллиптическая. При α =  - параболическая, а при α >  - гиперболическая.

Второй закон Кеплера выводится из закона сохранения момента импульса. Момент импульса тела определяется выражением: M=[r,p], где

[r,p] - векторное произведение (см. рис. 1.3.).

Рисунок 1.3.

Момент импульса M = const в отсутствие внешних моментов вращения. Если считать возмущающее действие других планет незначительным, то момент импульса при движении планеты вокруг Солнца остается постоянным. Из этого следует, что и секторальная скорость Δs/Δt будет постоянной (рис. 1.4.).

Рисунок 1.4.