Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой (x = x₁ + x₂) смещений x₁ и x₂, которые запишутся следующими выражениями:

x₁(t) = A₁cos(w₀t + j₁), x₁(t) = A₁cos(w₀t + j₁)
Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:
x = x₁ + x₂ = Acos(w₀t + j)
Значения амплитуды А и начальной фазы φ этого гармонического колебания будет зависеть от амплитуд исходных колебаний и их начальных фаз (Рис. 1.2).

Рисунок 1.2.

Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты

На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метод векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длинна А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длинны векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.

Если угол (разность фаз: Δφ = φ₁ - φ₂) между векторами А₁ и А₂ равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А₁ +А₂) будет максимальна. Если угол (разность фаз: Δφ = φ₁ - φ₂) между векторами А₁ и А₂ равен - π или π, то исходные колебания находятся в противофазе и суммарная амплитуда (А = êА₁ - А₂ê) будет минимальна. (ПРИМЕР )

Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами.

(Биения и модуляции)

Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А₁ и А₂ будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса (Рис 1.3.).

Рисунок 1.3.

Биения

За счет того, что вращение векторов А₁ и А₂ происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Т_б (Т_б = 2π/Δω), Δω - разность круговых частот исходных колебаний.

Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.

Модуляции

При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.