Некоторые сведения о полярностях

Определение 1.15. Абсолютными элементами полярности γ являются точки, инцидентные своему образу: , и прямые, инцидентные своему образу: .

Приведем некоторые известные факты, связанные с абсолютными точками полярностей конечных проективных плоскостей [1].

Лемма 1.1. Пусть α – полярность проективной плоскости Р. Тогда каждая абсолютная точка принадлежит единственной абсолютной прямой, одновременно, каждая абсолютная прямая содержит единственную абсолютную точку. 

В качестве следствия этой леммы можно сказать, что для любой полярности конечной плоскости существуют и неабсолютные элементы.

Известен результат, что если α имеет точно n+1 абсолютную точку, то для произвольной плоскости порядка n (где n - четное) абсолютные точки коллинеарны.

Если порядок плоскости – четное число, то абсолютные прямые полярности проходят через одну точку (т. е. конкуррентны).

Пусть Р – проективная плоскость n = s², α - полярность плоскости Р, a(α) – число абсолютных точек полярности. В [1] приведена оценка значения a(α).

Теорема 1.2. Пусть α - полярность конечной проективной плоскости Р порядка        n = s². Тогда  n +1  a (α )   s³ + 1.

Если Р – дезаргова плоскость порядка n = s², то любая полярность имеет либо n +1 абсолютную точку, либо n^3/2 + 1. В первом случае полярность может быть задана линейным преобразованием 3-мерного векторного пространства с симметрической матрицей, во втором случае – полулинейным преобразованием с матрицей специального вида. Полярности дезарговой плоскости называются ортогональной и унитарной соответственно. В случае произвольной проективной плоскости название полярности определяется количеством a(α ) абсолютных точек.

Определение 1.16. Полярность α проективной плоскости Р  порядка n = s² называютортогональной, если количество абсолютных точек а(α) = n+1, иунитарной, если               а(α) =n^3/2 + 1.

Лемма 1.3. Любая полярность дезарговой плоскости является либо ортогональной, либо унитарной.

Лемма 1.4. Если Р – проективная плоскость над полем характеристики 2 . Тогда множество абсолютных точек ортогональной полярности либо пусто, либо состоит из одной точки, либо абсолютные точки коллинеарны.

О полярностях с количеством абсолютных элементов  известно мало. Каждый из известных примеров– нерегулярный, что означает следующее:

Определение 1.17. Полярность называютрегулярной, если есть целое число t такое, что количество абсолютных точек на неабсолютной прямой равно 0, 1 или t + 1.

Лемма 1.5. Все полярности конечных дезарговых плоскостей регулярны.

Нет никаких известных регулярных полярностей, которые не являются ортогональными или унитарными. Возникает предположение, что любая регулярная полярность должна быть или унитарной или ортогональной.

Известен пример, где полярность плоскости имеет n^5/4+1 абсолютную точку. Это говорит о том, что плоскости, координатизирующиеся полуполем, могут допускать полярности, которые не являются ортогональными и унитарными.