Исследование полуполевых плоскостей порядка 16

 

Латинские квадраты

 

 

Определение 3.1. Латинский квадрат порядка n – это матрица размерности n  n с элементами из множества R, которые мы будем называть 0, 1, 2..., n-1, такая, что в каждой строке и столбце любой элемент встречается один раз.

 

Определение 3.2. Два латинских квадрата называются ортогональными, если их элементы, находящиеся на одинаковых местах, образуют n² неповторяющихся пар.

 

Пусть R={0,1,2,…, n-1} – множество, координатизирующее проективную плоскость, T – тернарная операция. Для  определим матрицу {x} таким образом: на место (i , j) поставим значение T(i, x, j). Тогда верна лемма, доказанная в [1]:

 

Лемма 3.1. 1) {x} – латинский квадрат;

                2) если x ≠ y, то латинские квадраты {x} и {y} ортогональны.

 

Определим координаты на плоскости, заданной векторным пространством, и установим связь между координатизирующим множеством и спрэдом.

 

Аффинные точки плоскости.

(x, y), здесь x=( ), y=( ) .

Аффинные прямые плоскости.

,

при k=0, получаем: .

Особые точки.

Особая прямая. 

.

 

Тернарная операция Т.

.

Далее введем бинарные операции сложения и умножения:

· ,

· .

 

      Для построенных полуполевых плоскостей тернарная операция имеет вид . Здесь , ,  – пары элементов из поля GF(4), . Для удобства обозначения номеров строк и столбцов латинских квадратов установим соответствия:

Для плоскостей №1 и №17 были построены системы латинских квадратов, состоящие из 15 матриц размерности 16 16 попарно ортогональных. Все они приведены в приложениях 3 и 4 для первой и семнадцатой плоскости соответственно.

Заметим, что все латинские квадраты каждой плоскости образованы перестановками строк одного из квадратов. Приведем результат, доказанный в [1].

 

Теорема 3.2. Конечное планарное тернарное кольцо удовлетворяет условию T(a,b,c)=a*b+c   в соответствующем полном множестве взаимно ортогональных латинских квадратов строки любого квадрата совпадают со строками любого другого квадрата.

 

 

Полярности

В данном параграфе приведен алгоритм поиска полярностей для конечных полуполевых плоскостей, в частности для полуполевых плоскостей порядка 16.

 

Приведем результат, доказанный в [1]:

 

В качестве примера были построены плоскости над GF(3) с использованием программы (см. приложение). Результатом реализации алгоритма явился список из 2016 наборов матриц B и C.

Рассмотрим условия на B и C, при которых соответствующие полуполевые плоскости являются дезарговыми.

1) B*C = C*B;

2) B² = b₁E+b₂B+b₃C;

3) C² = c₄E+c₅B+c₆C;

4) BC = c₁E+c₂B+c₃C.

При проверке всех условий оказалось, что из 2016 построенных плоскостей всего 288 являются дезарговыми. Заметим, что для плоскостей ранга 2 такой результат был бы невозможным, т.к. линейные функции в регулярном множестве могут определять только дезаргову плоскость.

Докажем это факт.