Построение неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16

Построение

Известен метод построения плоскостей трансляций на основе расщепляемых абелевых групп.

Определение 2.1. Пусть G – группа, S – некоторое множество подгрупп группы G. S является расщеплением группы G, если:

1)  Х≠1;

2) ,  Х≠ Y: ;

3) G= .

Рассмотрим аффинную плоскость, построенную следующим образом:

· точки плоскости – элементы группы G,

· прямые – смежные классы группы G по подгруппам из множества S,

· отношение инцидентности – естественное.

Достроим аффинную плоскость до проективной, назвав особыми точками множества смежных классов по одной и той же подгруппе, особой прямой – множество всех особых точек.

В качестве группы G может быть выбрано векторное пространство.

Пусть F – конечное поле, F= GF(q). Рассмотрим n-мерное пространство W  над полем F и 2 n-мерное пространство V= W W. Построим проективную плоскость на основе пространства V:

· аффинные точки – векторы , где , т.е. , ,

· аффинные прямые – смежные классы по подгруппам  и , где ,

· особые точки и особые прямые вводятся, как описано выше.

Здесь   – множество матриц  размерности n n над полем F, причем:

1) R содержит  и ;

2) все матрицы R , кроме нулевой – невырожденные, кроме того, .

       Множество  называют регулярным множеством плоскости (спрэдом).

Полуполевые плоскости порядка 16 построим на основе векторного пространства V размерности 4 над полем из 4 элементов, т.е. аффинные точки – это вектора вида , где , аффинные прямые – смежные классы по подгруппам: 

здесь .

       Напомним, что регулярное множество R замкнуто по сложению. Тогда праведлива следующая лемма:

Лемма 2.1. Плоскость трансляций координатизируется полуполем тогда и только тогда, когда регулярное множество замкнуто по сложению.

Доказательство леммы 2.1. Условие левой дистрибутивности имеет вид:

                                              .                                       (2.1)

Напомним, что в нашем случае операция умножения вводится следующим образом:

.

Следовательно, (2.1) примет вид:

.

В правой части равенства x можно вынести за скобку:

.

Так как x – произвольный элемент пространства, то:

.

Проверим теперь выполнение условия правой дистрибутивности:

                                             .                                       (2.2)

Следовательно, (2.2) примет вид:

.

В правой части равенства  можно вынести за скобку:

.

Равенство выполняется, следовательно, условие правой дистрибутивности выполняется.

 Лемма 2.1 доказана.

Задача построения всех полуполевых плоскостей данного вида сводится к построению всех возможных регулярных множеств.

Так как все ненулевые матрицы невырожденные, то элементы первой строки однозначно определяются элементами второй строки матрицы:

                                                   ,                

где  и  - аддитивные функции двух аргументов из поля .

Если , то:

,

В нашем случае , тогда функции f(u, v) и g(u, v) таковы:

,

,

матрицы θ принимают вид:

.

Так как регулярное множество содержит единичную матрицу, то можно найти зависимость между коэффициентами, входящими в функции  и . Нижняя строка единичной матрицы определена однозначно: u =0, v =1, следовательно:

 , ,

 , .

Была написана программа на языке С++, с помощью которой построено 56 полуполевых плоскостей порядка 16. Все соответствующие наборы коэффициентов  приведены в приложении 1.

Для удобства дальнейшей работы с полем GF(4) его элементами будем считать 0,1,2,3, причем таблицы Кэли по сложению и умножению соответственно имеют вид: