Основные законы небесной механики. Законы Кеплера

1. Каждая планета двигается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает одинаковые площади.
3. Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Отсюда следует, что сила, заставляющая планет двигаться по замкнутым орбитам направлена к Солнцу. Определим теперь, как эта сила изменяется с изменением расстояния от Солнца и как оно зависит от массы планеты. Для упрощения расчетов допустим сначала, что планеты движутся по окружности, в центре которой находится Солнце. Ускорение планеты при равномерном движении по круговой орбите радиуса r выражается формулой:

Для планет, движущихся по круговым траекториям, третий закон Кеплера записывается в виде

Где K - постоянная для всех планет солнечной системы. Она также называется постоянной Кеплера.

Через параметры эллиптической орбиты постоянная Кеплера запишется в виде:

,

Где а- длина большой полуоси орбиты.

Выразив Т через К и r, для ускорения планеты при движении по круговой орбите получим:

Следовательно, сила, действующая на планету равна:

Где m - масса планеты.

Коэффициент пропорциональности  является постоянным для всех планет, т.е. он не может зависеть от массы планет. Он может зависеть, однако, только от параметров, характеризующих Солнце.

 

 

Где М- масса Солнца, а G- новая постоянная, не зависящая ни от массы планеты, ни от массы Солнца.

Отсюда новое выражение для постоянной Кеплера:

 

 

Приливы и отливы.

У берегов океанов и морей дважды в сутки наблюдается поднятие (прилив) морской воды до некоторого максимального уровня (полная вода). После этого начинается опускание ее (отлив) до минимального уровня (малая вода). Разность уровней большой и малой воды называется амплитудой прилива. Время между следующими друг за другом положениями полной (или малой) воды составляет 12 часов 25 минут. Это время точно совпадает с половиной промежутка времени, в течение которого Луна в своем видимом движении совершает полный оборот вокруг Земли.

Приливы и отливы объясняются неоднородностью поля тяготения Луны и отчасти Солнца. Если бы внешнее гравитационное поле было однородно, то в земной системе отсчета оно полностью компенсировалось бы поступательной силой инерции, связанной с укоренным движением центра масс Земли. На самом деле гравитационное поле неоднородно и полная компенсация имеет место только в центре масс Земли. В остальных точках полной компенсации нет. Остаются некомпенсированные силы, которые и вызывают приливы. Влияние Луны более существенно, чем Солнца. Хотя лунное поле тяготения и слабее солнечного, но оно более неоднородно, так как Луна примерно в 400 раз ближе к Земле, чем Солнце.

 

Момент силы.

M

O

F

l

r

                                                                                       Момент силы относительно точки О

- псевдовектор, называющийся моментом силы:

                 

Где   

Направление момента силы совпадает с направлением, куда сила стремится повернуть точку.

Из рисунка видно, что модуль момента силы можно представить следующим образом:

Где l = rsinα - плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила.)

Частный случай момента силы:

Пара сил - две равные по модулю противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой.

l

Суммарный момент образующих пару сил F₁ и F₂ равен:

О

Учтя, что F₁ = - F₂, можно написать:

Где  – вектор, проведенный из точки приложения силы F ₁ в точку приложения силы F ₂ .

Полученное равенство не зависит от выбора точки О. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же.

 

Момент импульса

 

r

p = mv

α

 – псевдовектор, называющийся моментом импульса

Где r - радиус-вектор, соединяющий начало отсчета и точку приложения импульса, p – импульс.

Из рисунка видно, что:

где l = rsinα – плечо импульса.

Моментом импульса системы относительно точки О называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему:

Моментом импульса точки относительно некоторой неподвижной оси называется величина L_i, равная произведению момента инерции I_i точки на угловую скорость ω ее движения вокруг этой оси:

Моментом импульса тела относительно некоторой неподвижной оси называется величина L, равная сумме моментов импульсов всех n точек тела относительно этой оси:

где I – момент инерции тела относительно данной неподвижной оси.