Парадокс Эйлера - Даламбера

Кроме парадоксов типа «теория—теория» и «опыт—опыт», существуют еще парадоксы типа «теория-опыт» (или «опыт—теория»). Для них характерно резкое противоречие между теоретическими результатами и тем, что мы называем опытом, интуицией или просто «здравым смыслом».

Самый известный из парадоксов типа «теория-опыт» — это парадокс Эйлера — Даламбера. В 1742 году петербургский академик Л.Эйлер рассчитал сопротивление цилиндра, движущегося в жидкости, лишенной трения, и получил удивительный результат — сила сопротивления оказалась равной нулю! Спустя семь лет выдающийся французский механик Ж.Даламбер с помощью некоторых ухищрений рассчитал обтекание произвольного тела конечного объема и получил все тот же ошеломляющий результат — нулевое сопротивление.

Такой вывод резко отличался от «здравого смысла». Даламбер, как и каждый из нас, из личного опыта знал, что для поддержания движения к телу необходимо приложить силу тяги, преодолевающую силу сопротивления (именно поэтому летательные аппараты, корабли и подводные лодки снабжены двигателями). Даламбер не смог объяснить полученный результат и с горечью заметил, что нулевое сопротивление — «единственный парадокс, разрешение которого я оставляю геометрам будущих времен».

Прямо скажем: геометрам (гидродинамикам и математикам) достался в наследство крепкий орешек. Прежде чем его раскалывать, выясним геометрический смысл парадокса. Течение, исследованное Эйлером и Даламбером, симметрично, т.е. правая половина течения совпадает с левой (аналогично рисунку 1). Следовательно, совпадающая с направлением невозмущенного потока составляющая импульса (количества движения) струйки, обтекающей тело, постоянна: в некотором сечении слева вдали от тела она такая же, как в некотором сечении справа вдали от тела. В соответствии с законом сохранения импульса, на струйку, как и на помещенное в нее тело, не действует сила сопротивления. Математическая модель, использованная Эйлером и Даламбером, оказалась переупрощенной. Реальные течения несимметричны (подобно тем, которые изображены на рисунках 2 и 3).

Конечно, вы уже догадались, что именно трение (вязкость) нарушает симметрию. Именно оно ответственно за образование следа за телом. Так что же, тайна парадокса Эйлера - Даламбера разгадана? Нет, разгадка парадокса оказалась намного сложнее. Давайте снова посмотрим на рисунок 4. Даже при очень больших, предельно достижимых в настоящее время значениях Re, когда силы вязкости пренебрежимо малы, коэффициент сопротивления остается конечным. Значит, и в невязкой жидкости может возникнуть асимметрия и ненулевое сопротивление. Именно такое течение «построил» в 1868 году знаменитый немецкий физик Г.Гельмгольц (1821 — 1894), снявший последнее покрывало с парадокса Эйлера—Даламбера. Обтекание цилиндра по модели Гельмгольца показано на рисунке 5, за цилиндром образуется след — область покоящейся жидкости. Таким образом, реальная математическая модель должна учитывать трение и отрыв потока от тела

Кроме парадокса Эйлера — Даламбера, известно много парадоксов «переупрощения математической модели». Так, безотрывное обтекание острой кромки пластины (рис. 6,а) приводит к «парадоксу бесконечности» — скорость жидкости при подходе к кромке неограниченно растет. Более того, для разворота потока на 180° требуется так называемая центростремительная сила. В силу третьего закона Ньютона на пластину будет действовать такая же по величине сила (ее называют подсасывающей). К чему она приложена? К кромке пластины, т.е. к точке! Реальное обтекание кромки — отрывное, от нее отходит линия разрыва касательной составляющей скорости (окрашенная на рисунке 6,б в красный цвет), скорость на кромке конечна.

Формула Стокса.

При малых , т.е. при небольших скоростях движения сопротивления среды обусловлено практически только силами трения. Стокс установил, что сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости  движения тела относительно жидкости и характеру размера тела :  (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенки сосуда, значительно больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве  взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности равен . Следовательно, сила сопротивления движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с формулой стокса равна: