Кинетическая энергия вращающегося тела
Вращение тела вокруг неподвижной оси z (рис5.17). Линейная скорость элементарной массы равна , где – расстояние массы от оси z. Кинетическая энергия i-й элементарной массы в таком случае равна: Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энергий его частей: , где I –момент инерции тела вокруг оси вращения. Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идёт на приращение его кинетической энергии: Тело вращается вокруг произвольной точки, совпадающей с его центром масс. Начало декартовой системы координат поместим точно в центр масс тела. Скорость i-й элементарной массы равна . Кинетическая энергия в таком случае равна: , где – угол между векторами и . Если оси связанной с телом системы координат выбрать так, чтобы они совпали с главными осями инерции тела: , Здесь , , – главные моменты инерции тела. Для шарового волчка эти моменты имеют одинаковые значения I, тогда формула принимает вид: / Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трёх случаях: 1) для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется более сложными формулами.
Кинетическая энергия при плоском движении. Плоское движение тела может быть представлено в виде наложения двух движений – поступательного с некоторой скоростью и вращательного с угловой скоростью ω. Скорость i-й элементарной массы равна: , где – скорость некоторой точки O тела, – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке O. Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна: , Векторное произведение ω на имеет модуль, равный , где – расстояние массы до оси вращения. Тогда выражение для кинетической энергии преобразуется следующим образом: , Чтобы получить кинетическую энергию тела, просуммируем полученное выражение по всем элементарным массам: , Сумма элементарных масс есть масса тела . Выражение , где – радиус-вектор центра масс тела C. – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. В таком случае, , – скорость центра масс, тогда формула для кинетической энергии принимает свой окончательный вид:
Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Гироскопы Гироскопы (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эта ось является одной из главных осей симметрии, если она не поворачивается в пространстве, то момент инерции равен , где – момент инерции относительно оси гироскопа. В случае же если ось гироскопа поворачивается с некоторой скоростью , то результирующее вращение гироскопа происходит вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии (вектор не совпадает с направлением оси гироскопа). Если скорость собственного вращения гироскопа много больше скорости вращения оси ( ,то момент импульса гироскопа направлен вдоль его оси и равен . При попытке вызвать поворот оси наблюдается гироскопический эффект: Под действием сил, которые должны были вызвать поворот оси гироскопа OO вокруг прямой O1O1, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой O2O2 (прямая O2O2 и силы F перпендикулярны плоскости рисунка). Такое поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения. Моменты сил F направлен вдоль прямой O1O1. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление и . Результирующий момент силы совпадает с новым направлением оси гироскопа и равен . Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг прямой O2O2 на угол , который равен , следовательно поворот оси гироскопа произошёл с угловой скоростью . Векторы , N и M взаимно перпендикулярны, тогда . Это формула справедлива как для общего случая, так и для перпендикулярно M .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (270)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |