Методы исследования устойчивости динамических систем

Введение

Предлагаемые методические указания являются дополнением опубликованных ранее по курсу “Моделирование динамических систем” методических указаний [1-3]. В [1] подробно изложены теоретические вопросы, связанные с составлением и исследованием дифференциальных моделей конкретных физических и социальных процессов, приведены основные теоремы Ляпунова, используемые при исследовании устойчивости равновесий динамических систем, в [2] – приведены асимптотические методы исследования динамических систем в случаях регулярного и сингулярного вырождений, подробно изложены теоретические основы метода пограничного слоя, в [3] – уделено больше внимания отдельным теоретическим вопросам, вскользь затронутым в [1,2]. Предлагаемые методические указания посвящены практическим вопросам исследования устойчивости динамических систем и вопросам асимптотического анализа таких систем при наличии малого параметра при старшей производной, в ней приведено большое количество примеров, иллюстрирующих применение изложенных в [1-3] теорем. В начале каждого параграфа приведены необходимые для проведения исследования теоретические положения, в конец вынесены индивидуальные задания, решение которых поможет лучше овладеть рассматриваемыми вопросами.

Основные понятия математического моделирования

Исследование любого объекта математическими методами может быть начато лишь с того момента, когда получено описание его существенных свойств на языке математических соотношений, то есть, описана его математическая модель.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя в себе некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Схема вычислительного эксперимента состоит в следующем.

Исследование объекта начинается с установления основных законов управления объектом и построения соответствующей математической модели, которая обычно представляет запись этих законов в форме системы уравнений. При выборе математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. На этом этапе требуется привлечение ЭВМ и как следствие развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. После написания и отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

К сожалению, построить решение дифференциальной модели в явном виде удается очень редко, поэтому особое значение приобретают качественные приемы исследования дифференциальных моделей, приемы, которые позволяют, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Вопросам практического применения таких методов и посвящены следующие параграфы работы.

Методы исследования устойчивости динамических систем

    За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым эта теория нашла широкое применение в различных областях науки и техники. Начало современной теории устойчивости положил трактат А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения." (1892г.). Дальнейшее развитие идеи Ляпунова получили в работах русских ученых Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, М.Г. Крейн, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, Н.Н. Боголюбова, Б.П. Демидовича и многих других, в том числе ростовских ученых И.И. Воровича и В.И. Юдовича. При написании этой главы использовались работы Н.Г. Четаева [6], И.Г. Малкина [5], Б.П. Демидовича [4] и В.И. Юдовича [7]. Ниже приведены примеры использования различных метод Ляпунова.

В этой главе изучаются векторные дифференциальные уравнения вида

рассматриваемые в конечномерном пространстве Rⁿ или в банаховом пространстве X. Будем предполагать, что f(x,t) є C^0,1_t,y, то есть вектор функция f(x,t) в рассматриваемой области непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по x и, следовательно, выполнены условия теоремы Коши существования и единственности решений задачи Коши: для каждой пары значений (t₀,x₀) существует единственное решение уравнения (1) y=y(t), определенное в некотором интервале t є (t₀-a, t₀+b); a,b>0 и удовлетворяющее начальному условию y(t₀)= y₀. Если b=∞, то говорят, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо вправо.