Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений равновесия по Ляпунову

Определение. Решение x₀(t) t>0 дифференциального уравнения (1) назовем устойчивым по Ляпунову, если выполнено два условия:

1) Все решения дифференциального уравнения (1), которые мало отличаются от x₀ в начальный момент времени, определены для всех t>0, т.е. существует число δ₀ >0 такое, что если выполнено неравенство

              || x₀(0) - x(0) || < δ₀   

то решение x(t) уравнения (1) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства 

         || x₀(0) - x(0) || < δ₀  

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

         || x₀(t) - x(t) || < ε

Определение. Решение назовем неустойчивым по Ляпунову, если нарушено хотя бы одно из требований предыдущего определения.

Разность x₀(0) - x(0)  назовем начальным возмущением, x₀(t) - невозмущенным (основным) решением, x(t) – возмущенным решением, x₀(t) - x(t) = y(t)  - возмущением в момент времени t.

Вместо того, чтобы исследовать на устойчивость некоторое решение x₀(t) дифференциального уравнения (1), удобно перейти к исследованию на устойчивость нулевого равновесия уравнения возмущений которое имеет вид        

Очевидно, что если x₀(t) есть решение уравнения (1), то y₀=0 есть решение уравнения (2). Сформулируем определение устойчивости тривиального решения уравнения (2).

Определение. Тривиальное решение уравнения (2) назовем устойчивым по

Ляпунову, если:

1) существует число δ₀ >0 такое, что если выполнено неравенство

              || y₀(0) || < δ₀  

то решение y(t) уравнения (2) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства 

         || y₀(0)|| < δ₀  

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

         || y₀(t)|| < ε

Определение. Основное решение уравнения (1) или, что то же самое тривиальное решение уравнения возмущений (2), назовем асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и возмущения затухают с течением времени, то есть ||x(t)|| → 0 при t → ∞.

Рассмотрим несколько примеров исследования устойчивости, исходя из определений.

Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение уравнения (3) имеет вид

Следовательно, если k<0, то нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво (δ=ε). Если k>0 (k=0), то нулевое решение неустойчиво (устойчиво, причем δ=ε,  но асимптотически устойчивым не является).

Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение дифференциального уравнения вида                                  

Характеристическое уравнение уравнения (4) имеет вид

Если k>0, то λ₁= ; λ₂=-  и общее решение уравнения (4) имеет вид

Постоянные C₁ и C₂ определяются начальными условиями уравнения (4), в общем случае они отличны от нуля. Первое слагаемое в (5) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову (более того, экспоненциально неустойчиво).

Если k=0, то общее уравнение (4) записывается в виде

Первое слагаемое в (6) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову.

Если k<0, то  λ₁ = ;  λ₂ = -  и общее решение уравнения (4) имеет вид

Отсюда,

Следовательно, нулевое решение в этом случае устойчиво по Ляпунову, но асимптотически устойчивым не является.

Пример 3. Исследовать на устойчивость тривиальное решение дифференциального уравнения вида                                  

Характеристическое уравнение уравнения (8) имеет вид

Отсюда, λ₁=0. Если k<0, то λ₂= ; λ₂=-  и общее решение уравнения (4) имеет вид

Второе слагаемое в (9) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нулевое равновесие уравнения (8) в этом случае неустойчиво по Ляпунову (экспоненциально неустойчиво).

В случае k=0, рассуждая аналогично примеру 2, получим, что нулевое равновесие неустойчиво по Ляпунову, а в случае k<0 - устойчиво по Ляпунову, но асимптотически устойчивым не является.