Второй итерационный процесс

Построим пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где u_i (i = 0, 1, 2, ...) - функции первого итерационного процесса, определяемые формулами (22); v_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению.

Подставим ряд (23) в (19) и учтем результаты первого итерационного процесса (формулы (22), по которым мы определили функции первого итерационного процесса). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (23), получим уравнение

Выполним основную процедуру метода пограничного слоя - растяжение пограничного слоя, то есть сделаем замену переменных

    x =ε t ; x ? [0,1]; t ? [0,∞)

В результате замены мы растянули отрезок x ? [0,1], благодаря чему можно описать резкие изменения функции u, которые она претерпевает вблизи левого конца отрезка. Функции пограничного слоя зависят от растянутой переменной t.

При рассмотрении левого конца отрезка все функции, зависящие от переменной x в уравнении (24), разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=0, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t. В результате получим

Перейдем в (24) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t, используя формулы

Подставим разложения (25) в уравнение (24), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .

Уравнение (26) - есть однородное уравнение с постоянными коэффициентами, в следующих приближениях получаются неоднородные уравнения с известной правой частью. Для вывода граничных условий при t=0 подставим ряд (25) в первое из условий (20) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. Получим

  .  . .

Условие при t → ∞ получаем из требования убывания функций пограничного слоя внутри отрезка [0,1] (функции пограничного слоя не должны портить решения внутри отрезка). Таким образом, имеем условия

  .  . .

Алгоритм нахождения функций пограничного слоя вблизи левого конца отрезка состоит в следующем:

1) По формулам (22) находится функция u_i i=0.

2) Из решения задачи (26),(28),(29) (при i=0) определяется функция v_i i=0.

3) Переход на первый пункт алгоритма с увеличением значения переменной i (i=i+1).

Для явного решения задачи (26),(28),(29) в главном приближении (при i=0) положим b₀=0. В результате получим задачу

В случае c₀>0 общее решение последнего уравнения выражается тригонометрическими функциями и удовлетворить оба граничных условия не удается. Следовательно, в этом случае построить пограничный слой на левом конце отрезка нельзя и для решения задачи надо использовать другие асимптотические методы. Если же c₀<0, то общее решение последнего уравнения имеет вид

где D₁,D₂ - произвольные постоянные. Удовлетворяя обоим граничным условиям, получим, что

Подставляя найденное решение в уравнение (27) (при i=1), определяем правую часть этого уравнения и дальше действуем согласно алгоритму.

Теперь рассмотрим правый конец отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где u_i (i = 0, 1, 2, ...) - функции первого итерационного процесса; v_k, w_k  (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя соответственно вблизи левого и правого концов отрезка).

Подставим ряд (64) в (53), учтем результаты первого и второго (вблизи левого конца отрезка) итерационных процессов. В результате получим уравнение

Выполним растяжение пограничного слоя вблизи правого конца отрезка по формуле

Все функции, зависящие от переменной x в (31) разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=1, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t, используя формулу (32). В результате получим

Перейдем в (31) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t. Подставим разложения (33) в уравнение (31), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .

которые решаются с условиями

  .  . .

Алгоритм решения уравнения (19) с условиями (20)

состоит в следующем:

1) По формулам (22) находится функция u_i i=0.

2) Из решения задачи (26),(28),(29) (при i=0) определяется функция v _i   i=0.

3) Из решения задачи (34),(35) (при i=0) определяется функция w _i   i=0.

4) Переход на первый пункт алгоритма с увеличением значения переменной i (i=i+1).

Главный член асимптотики на правом конце отрезка находится аналогично левому концу отрезка, в результате в главном приближении асимптотика решения задачи (19),(20) (при b₀=0; b₀⁰=0; c₀<0; c₀⁰<0) запишется в виде

Самостоятельно исследуйте случай

                                                        

Как видно из приведенного примера, метод пограничного слоя позволяет построить асимптотическое разложение решения не всегда, а только при выполнении некоторых условий на коэффициенты уравнения.

Пример 1. Методом пограничного слоя построить главные члены асимтотики решения задачи (ε << 1)

Первый итерационный процесс.

Решение задачи (36) ищется в виде ряда Тейлора по степеням малого параметра ε

 

Подставим разложение (37) в уравнение (36). Группируя члены при одинаковых степенях ε и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях, получим уравнения

          . . .

из которых

                                                                                                                 

Разыскивая решение задачи (36) в виде ряда (37), удается удовлетворить уравнение (36) с любой степенью точности. Если бы оказались удовлетворены оба граничных условия (36), то ряд (37) являлся бы решением задачи (36).

Так как оба граничных условия не выполненs, то необходимо ввести погранслойные поправки к решению вблизи обоих концов отрезка (точек x=0 и x=2).

Второй итерационный процесс

Построим вначале пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи разыскивается в виде ряда

где v_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению. Ряд (38) выписан с учетом того факта, что функции первого итерационного процесса равны нулю.

Подставим ряд (38) в (36). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (38) и выполнив растяжение пограничного слоя, то есть сделав замену переменных

    x =ε t ;   x ? [0,1]; t ? [0,∞)

перейдем в (36) от производных по переменной x к производным по переменной t, используя формулы

    

и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения пограничного слоя

. . .

Для вывода граничных условий при t=0 подставим ряд (38) в первое из условий (36), невязку в выполнении которого необходимо ликвидировать, и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε

  .  . .

Условия при t → ∞ для функций пограничного слоя получаем из требования убывания функций пограничного слоя внутри отрезка [0,2]. Граничные условия имеют вид условий (29).

Следовательно, отличны от нуля только погранслойные поправки к решению в главном приближении. В последующих приближениях получены однородные уравнения с однородными граничными условиями, поэтому все погранслойные поправки во всех приближениях, кроме главного приближения, тождественно равны нулю.

    В главном приближении имеем задачу

    

Для нахождения общего решения задачи (39) выпишем характеристическое уравнение

Отсюда,

Следовательно,

      

В силу граничных условий

                        

Теперь построим функции пограничного слоя вблизи второго конца отрезка (точки x=2). Решение задачи (38) разыскивается в виде ряда        

где v₀, w_k  (k = 0, 1, 2, …) – функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя соответственно вблизи левого и правого концов отрезка).

Подставим ряд (41) в (38), учтем результаты второго (вблизи левого конца отрезка) итерационного процесса. В результате получим уравнение типа (31). Выполним растяжение пограничного слоя вблизи правого конца отрезка по формуле

 

    Уравнения пограничного слоя вблизи правого конца отрезка примут вид

. . .

которые решаются с условиями

  .  . .

Следовательно, отличны от нуля погранслойные поправки к решению только в главном приближении. Они определяются из решения задачи.

    

Для нахождения общего решения задачи (42) выпишем характеристическое уравнение             

Отсюда,

     

Следовательно,

      

В силу граничных условий

                 

Общее решение задачи (36) с учетом формул (40),(43), получим