Две прямые, пересеченные третьей, пересекутся с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.

Уже во времена Евклида стало ясно, что пятый постулат слишком сложен по сравнению с другими исходными положениями его геометрии. Другие положения казались очевидными. Именно из-за их очевидности они рассматривались как постулаты, т.е. как то, что принимается без доказательств. Вместе с тем еще Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. положение, значительно более простое, чем пятый постулат. Отсюда ясно, почему к этому постулату всегда относились с подозрением и пытались представить его теоре­мой. И у самого Евклида геометрия строилась так, что сначала доказывались те положения, которые не опираются на пятый посту­лат, а потом уже этот постулат использовался для развертывания содержания геометрии.

Интересно то, что пятый постулат геометрии Евклида стре­мились доказать как теорему, сохраняя при этом убежденность в его истинности, буквально все крупные математики вплоть до Н.И. Лобачевского, Ф. Гаусса и Я. Больяи, которые в конце концов и решили проблему. Их решение складывается из следующих моментов:

— пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой;

— можно построить новую геометрию, принимая все Евклидовы постулаты, кроме пятого, который заменяется его отрицанием, т.е., например, утверждением, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число прямых, парал­лельных данной;

В результате такой замены и была построена неевклидова геометрия.

Поставим теперь следующие вопросы.

— Можно ли считать, что только стремление доказать пятый постулат привело к созданию неевклидовых геометрий ?

— Почему в течение двух тысячелетий ни у кого не возникало даже мысли о возможности построения неевклидовой геометрии ?

Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к истории науки.До Лобачевского, Гаусса, Больяи на Евклидову геометрию смотрели как на идеал научного знания. Этому идеалу поклонялись буквально все мыслители прошлого, считавшие, что геометрическое знание в изложении Евклида является совершенным. Оно представлялось образцом организации и доказатель­ности знания.                                     

У Канта, например, идея единственности геометрии была органи- ческой частью его философской системы. Он считал, что Евклидово восприятие действительности является априорным. Оно есть свойство нашего сознания, и потому мы не можем воспринимать действительность иначе. Вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом. Он носил мировоззренческий характер, был включен в культуру. Именно по геометрии судили о возможностях математики, об особенностях ее объектов, о стиле мышления математиков и даже о возможностях человека иметь точное, доказательное знание вообще. Откуда же тогда возникла сама идея возможности различных геометрий ? Почему Н.И. Лобачевский и другие ученые смогли прийти к решению проблемы пятого постулата? Обратим внимание на то обстоятельство, что время создания неевклидовых геометрий было кризисным с точки зрения решения проблемы пятого постулата Евклида. Хотя математики занимались этой проблемой в течение двух тысячелетий, у них при этом не возникало никаких стрессовых ситуаций по поводу того, что она так долго не решается. Они думали, видимо, так

— геометрия Евклида — это великолепно построенное здание;

— правда, в ней имеется некоторая неясность, связанная с пятым постулатом, однако в конце концов она будет устранена.

Проходили, однако, десятки, сотни, тысячи лет, а неясность не устранялась, но это никого особенно не волновало. По-видимому, логика здесь могла быть такая- истина одна, а ложных путей сколько угодно Пока не удается найти правильное решение проблемы, но оно, несом­ненно, будет найдено. Утверждение, содержащееся в пятом постулате, будет доказано и станет одной из теорем геометрии. Но что же случилось в начале XIX в. ? Отношение к проблеме доказательства пятого постулата сущест­венно меняется. Мы видим целый ряд прямых заявлений по поводу весьма неблагополучного положения в математике в связи с тем, что никак не удается доказать столь злополучный постулат. Наиболее интересным и ярким свидетельством этого является письмо Ф. Больяи его сыну Я. Больяи, который стал одним из создателей неевклидовой геометрии.

"Молю тебя,— писал отец,— не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты затратишь на это все время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линии ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньюто­новских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совер­шенным даже в геометрии".