Почему такая реакция возникает только в начале XIX в.?

Прежде всего потому, что в это время проблема пятого постулата перестала быть частной, которую можно и не решать. В глазах Ф. Больяи она предстала как целый веер фундаментальных вопросов.

— Как вообще должна быть построена математика ?

— Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?

— Является ли она достоверным знанием?

— Является ли она вообще логически прочным знанием?

Такая постановка вопроса была обусловлена не только историей развития исследований, связанных с доказательством пятого постулата Она определялась развитием математики в целом, в том числе ее использованием в самых различных сферах культуры.

Вплоть до XVII в. математика находилась в зачаточном состоя­нии. Наиболее разработанной была геометрия, были известны начала алгебры и тригонометрии. Но затем начиная с XVII в. математика стала бурно развиваться, и к началу XIX в. она представляла довольно сложную и развитую систему знаний.

— Прежде всего под влиянием потребностей механики были созданы дифференциальное и интегральное исчисления.

— Значительное развитие получила алгебра. В математику органично вошло понятие функции (активно использовалось большое количество различных функций во многих разделах! физики).                                        

— Сложилась в достаточно целостную систему теория вероятности.

— Сформировалась теория рядов.

Таким образом, математическое знание выросло не только коли­чественно, но и качественно. Вместе с тем появилось большое число понятий, которые математики не умели истолковать.

— Например, алгебра несла с собой определенное представление о числе. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной мере ее объектами. Но что такое отрицательные или мнимые числа, этого никто не знал вплоть до начала XIX в.

— Не было ясного ответа и на более общий вопрос, что вообще есть число?

— А что такое бесконечно малые величины?

— Как можно обосновать операции дифференцирования, интег­рирования, суммирования рядов?

— Что представляет собой вероятность?

В начале XIX в. никто не мог ответить на эти вопросы. Короче говоря, в математике к началу XIX в. сложилась в целом сложная ситуация.

— С одной стороны, эта область науки интенсивно развивалась и находила ценные приложения,

— с другой — она покоилась на очень неясных основаниях.

В такой ситуации по-другому была воспринята и проблема пятого постулата геометрии Евклида. Трудности истолкования новых понятий можно было понять так то, что неясно сегодня, станет ясным завтра, когда соответствующая область исследований получит достаточное развитие, когда будет сосре­доточено достаточно интеллектуальных усилий для решения проблемы.

Проблема пятого постулата существует, однако, уже два тысяче­летия. И до сих пор у нее нет решения. Может быть, эта проблема устанавливает некий эталон для истолкования современного состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще?

Может быть, тогда математика — это вовсе и не точное знание?

В свете таких вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной проблемой геометрии. Она превратилась в фундаментальную проблему математики.

Этот анализ дает нам еще одно подтверждение той идеи, что фундаментальные открытия суть решения фундаментальных проблем. Он показывает также, что фундаментальными проблемы становятся в рамках культуры, т.е., иначе говоря, фундаментальность исторически обусловлена. Но в рамках культуры не только формируются фундаментальные проблемы, в них, как правило, подготавливаются и многие компоненты их решения. Отсюда становится ясным, почему такие проблемы реша­ются именно в данный момент, а не в какое-либо иное время. Рассмотрим опять же в связи с этим процесс создания неевкли­довой геометрии. Обратим внимание на следующие интересные фраг­менты истории исследований в этой области. Доказательства пятого постулата Евклида проводились на протя­жении двух тысячелетий, но при этом они считались задачей второго рода, т.е. постулат представлялся теоремой Евклидовой геометрии. Это была задача с четко фиксируемым фундаментом для ее разрешения.

Однако во второй половине XVIII в. появляются исследования, в которых высказывается мысль о неразрешимости данной проблемы. В 1762 г. Кюгель, публикуя обзор исследований этой проблемы, приходит к выводу, что Евклид был, по-видимому, прав, считая пятый постулат именно постулатом. Независимо от того, как относился к своему выводу Кюгель, его вывод был очень серьезным, так как провоцировал следующий вопрос: если пятый постулат геометрии Евклида действительно является посту­латом, а не теоремой, то что же такое постулат? Ведь постулатом считалось положение очевидное, а потому не требующее доказательства.

Но подобный вопрос уже не являлся вопросом второго рода. Он представлял уже метавопрос, т.е. выводил мысль на философско-методологический уровень.

Итак, проблема пятого постулата геометрии Евклида начинала порождать совсем особый род размышлений.