Матрица квадратичных форм. Теорема о ранге матрицы

Теория

1.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

систем координат.

1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

канонический вид, нормальный вид.

1.4 Матрица квадратичнаых форм. Теорема о ранге матрицы.. . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к . . . . . . . . . . . . . . . .8

каноническому виду и к нормальному виду

1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Закон инерции квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Положительно-определённая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

Приложения

2.1 Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2Приложение 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Введение

В данной работе мы рассмотрим квадратичные формы и основные операции над ними. А также в заключении моей работы решим пять задач по данной теме.

 

1.2 n -мерное векторное пространство. Преобразование систем координат.

    Из правил сложения векторов и умножения вектора на число вытекают важные свойства, которые легко доказываются:

1) ;                   2) ;

3) ;                             4) ;

5) ;                                     6) ;

7) т×0 = 0;                                      8) если тa = 0, то или т = 0, или a = 0.

Совокупность всех п-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется п-мерным векторным пространством.

Геометрический смысл сложения и умножения на число двумерных и трёхмерных векторов.

Вектор b называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, ¼, a_п, если существуют такие числа т₁, т₂, ¼, т _п, что

                              b = т₁a₁ + т₂a₂ ¼ + т _пa_п

Линейной оболочкой  системы векторов  называется множество всех линейных комбинаций этой системы векторов.

Система векторов a₁, a₂, ¼, a_п называется линейно зависимой, если найдутся такие числа т₁, т₂, ¼, т _п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что имеет место равенство

                              т₁a₁ + т₂a₂ ¼ + т _пa_п = 0.

Линейно независимая система п-мерных векторов

                                          a₁, a₂,¼, a _п                                                        (1)

называется максимальной линейно независимой системой, если добавление к ней любого п- мерного вектора b даёт линейно зависимую систему. Если (1) – максимальная линейно независимая система, то во всякой линейной комбинации векторов a₁,a₂,¼,a _п,b, равной нулю, коэффициент при векторе b должен отличаться от нуля(!), и вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂,¼, a _п. Отсюда следует, что система п­мерных векторов тогда и только тогда будет максимальной линейно независимой системой, если её векторы линейно независимы, а любой п-мерный вектор является линейной комбинацией этих векторов.

Теперь можно сделать заключение. В п-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.

Всякая линейно независимая система п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе. Действительно, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно присоединить один вектор так, что полученная система останется линейно независимой. Если новая система не максимальна, то к ней можно добавить ещё один вектор. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока в системе не будет п векторов.

Введём в геометрическом n-мерном пространстве произвольную систему и будем рассматривать переменные  как координаты точки М в этой системе. Тогда  есть значение квадратичной формы в точке М.

Перейдём к новой системе координат по формулам:

                                                           (2)

Здесь - старые; - новые координаты одной и той же точки.

Выясним, как изменится матрица квадратичной формы при переходе к новой системе координат. Запишем преобразование координат (2) в матричной форме

                                                                                             (3)

Где X – матрица-столбец, составленная из старых координат; Y – матрица-столбец, составленная из новых координат; B – неособенная матрица с элементами. Подставив выражение (3) в равенство , получим

Но, по правилу транспонирования произведения,  Следовательно,

                                                                 (4)

Матрица  симметрична, так как  а Y – матрица-столбец, составленный из переменных  Поэтому выражение (4) является квадратичной формой от этих переменных. Её матрица равна .

Таким образом, если в квадратичной форме с матрицей А перейти к новой системе координат, то в любых переменных квадратичная форма будет иметь матрицу  где B – матрица перехода.    

 

 

1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, канонический вид, нормальный вид.

Числовая функция а(х, у) двух векторных аргументов х, у называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу, то есть

Здесь x, у, х₁, х₂, у₁, у2—любые векторы пространства L , α —произвольное число.

Пусть L — линейное n-мерное пространство е₁, ..., е_п — базис в нем, и пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису:

, .

Тогда

                                                    (1)

Введем обозначения:                        

                                                                                          (2)

Тогда получим

                                                                               (3)

Формула (3) выражает функцию а(х,у) в координатах по данному базису.

Многочлен в правой части формулы (3) называется били­нейной формой. Вместе с ним билинейной формой называют и самую функцию а(х,у). Числа а _ik называются коэффици­ентами данной формы в базисе е₁, ..., е_п. В качестве аргу­ментов х, у можно рассматривать векторы как действитель­ного, так и комплексного линейного пространства. Соответ­ственно говорят, что форма а(х,у) дана в действительном или в комплексном пространстве. В последнем случае в ка­честве значений формы а(х, у) допускают комплексные числа; коэффициенты а _ik этом случае также являются, вообще говоря, комплексными числами.

  Пусть билинейная форма а(х,у) является симметричной: а(у,х)=а(х,у). Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: А* = А. В самом деле,

Отождествим оба аргумента формы а(х,у). Тогда получим а(х,х) = а(х,у) при у = х.

Функция а(х, х) называется квадратичной формой, отве­чающей данной симметричной билинейной форме а(х,у).

Исходная (симметричная) билинейная форма а(х, у) назы­вается полярной для квадратичной формы а(х, х).

Докажем, что полярная билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.

Пусть дана числовая функция f ( x ) векторного аргумента. Предположим, что f { x ) есть некоторая квадратичная форма, т. е. f ( x ) = a ( x , x ), причем а{х,у) нам неизвестна. Чтобы найти ее, рассмотрим f ( x + y ), где х, у — произвольные векторы. Пользуясь свойствами билинейной формы и ее сим­метричностью, имеем

Отсюда получаем искомое выражение

                                                         (4)

Формулу (4) можно принять за определение квадра­тичной формы. Именно можно сказать, что f ( x ) называется, квадратичной формой, если левая часть формулы (4) является билинейной функцией.

Следует заметить, что определение квадратичной формы не предусматривает наличия базиса; тем самым, оно применимов бесконечномерных пространствах.

Пример. Пусть L — линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [0, 1].

Рассмотрим функцию

аргумент которой x = x ( t )ЄL .

Имеем

                                               (5)

Нетрудно непосредственно проверить, что в правой части равенства (5) стоит билинейная форма. Таким образом, f { x ) есть квадратичная форма в бесконечномерном пространстве L .

Вернемся к n-мерному случаю. В n-мерном простран­стве рассмотрим квадратичную форму и запишем ее выраже­ние через координаты аргументов.

Пусть а (х,у) = а (у, х), х=у. Тогда

……….…………………………

                                                               (6)

Если принять во внимание симметричность коэффициен­тов, то члены суммы (6), кроме диагональных, естественно объединяются в пары. При этом получается часто употреб­ляемая запись квадратичной формы в виде

                          .                      (7)

Заметим, что в первой строчке формулы (7) выписаны все члены, содержащие x ₁ .

Ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы: г = Rang A .

Канонический вид квадратичной формы. Если в некотором базисе окажется, что все коэффи­циенты a_ik = 0 при i ≠ k , то говорят, что в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

Приведение квадратичной формы к каноническому виду является важной задачей как в теоретических вопросах, так и в прикладной математике. Ниже рассмотрим два метода приведения квадратичной формы к каноническому виду: ме­тод Лагранжа и метод Якоби.

Если Rang = r < n, то после надлежащего изменения но­меров матрицу можно записать в виде

.

Замечание. Если привести к каноническому виду квадратичную форму, то одновременно приведется к диаго­нальному виду и ее билинейная форма

Нормальный вид квадратичной формы

                                                                                 (8)

считая, что у₁,..., у _r , у r +1,. .., у_п— новые координаты век­тора х. Выражение (8) называется нормальным видом квад­ратичной формы f ( x ).

В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного пре­образования привести к нормальному виду (8).

Ограничимся теперь действительными пространствами и действительными линейными преобразованиями. Учитывая, что среди коэффициентов а _ii могут быть отрицательные, по­ложим

                                                                           (9)

Если первые k коэффициентов а _ii положительны, а осталь­ные отрицательны, то мы получим

                                .                          (9*)

Выражение (9*) также называется нормальным видом формы f ( x ).

 

 

Матрица квадратичных форм. Теорема о ранге матрицы

Вся квадратичная форма может быть записана в виде

 

                                                           (1)

…………………………………….

Ясно, что коэффициенты   формы  в записи (1) определены одназначно. Составленная из них матрица

Называется матрицей квадратичной формы  Ввиду   элементы матрицы A, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Следовательно  , т.е. A – симметричная матрица.

Очевидно, что для любой симметричной матрицы A всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с A. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы мы можем считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы вполне определяются своими матрицами.

 Теорема о ранге матрицы. Ранг произвольной матрицы равен максимальному порядку ее миноров, отличных от нуля.

Доказательство. Если Rang А = 0, то A — нулевая матрица, и у нее нет отличных от нуля миноров. Естественно считать в этом случае, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть далее матрица А — не нулевая. Если некоторый ее минор М порядка rне равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю или отсутствуют вовсе, то М является базисным минором. По лемме о базисном миноре столбцы матрицы А, пересекающие минор М, линейно неза­висимы. Поэтому Rang A ≥ r . По той же лемме любой стол­бец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы. Отсюда, применяя лемму , находим, что Rang A ≤ r . Таким образом, Rang A = r , что и требовалось доказать.