Множество неподвижных точек движений.
Определение. Неподвижной точкой (прямой, плоскостью) преобразования называется такая точка (прямая, плоскость) пространства, которая при этом преобразовании переходит в себя.
Теорема 2.1. Если при движении неподвижны две точки А и В, то неподвижны все точки прямой АВ. Доказательство. Пусть Х произвольная точка прямой АВ, отличная от А и В. Если X→Х´ и Х≠X´, то Х´ лежит на АВ и из определения движения следует, что А – середина ХХ´ и В – середина ХХ´, чего не может быть. Значит, Х переходит при этом движении в себя. Отсюда, все точки прямой АВ неподвижны.
Теорема 2.2. Если при движении неподвижны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, то неподвижны все точки плоскости (АВС). Доказательство. По теореме 2.1. неподвижны все точки прямых АВ, АС и ВС. Теперь, пусть Х – произвольная точка плоскости (АВС), не принадлежащая прямым АВ, АС и ВС. Пусть М – произвольная точка внутри ∆АВС (например, точка пересечения медиан). Прямая МХ пересекает стороны нашего треугольника в некоторых точках K и N, которые являются неподвижными. Тогда по теореме 2.1. неподвижны все точки прямой KN, в том числе и точка Х. Отсюда, все точки плоскости (АВС) являются неподвижными.
Теорема 2.3. Если при движении неподвижны четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то неподвижны все точки пространства. Доказательство. Теорема выводится из теоремы 2.2. так же, как и теорема 2.2. выводится из теоремы 2.1.
Следствие. Множеством неподвижных точек движения пространства является либо пустое множество, либо точка, либо прямая, либо плоскость, либо всё пространство.
Виды движений.
Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства: .
Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).
Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (429)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |