Инверсия пространства.
Определение.Пусть в пространстве дана сфера S с центром О и радиусом R. Инверсией относительно сферы S называется преобразование, переводящее произвольную точку А, отличную от О, в точку А´, лежащую на луче ОА такую, что . S – сфера инверсии, О – центр, R – радиус инверсии. Дополним пространство бесконечно удалённой точкой и поставим её в соответствие точке О (тогда, очевидно, бесконечно удалённая точка перейдёт при инверсии в точку О).
Будем считать, что любая прямая и любая плоскость содержат бесконечно удалённую точку пространства.
Определение. Углом между двумя пересекающимися сферами называется угол между касательными плоскостями к сферам, проведёнными через любую из точек пересечения сфер. Углом между пересекающимися сферой и плоскостью называется угол между касательной плоскости к сфере, проведённой через любую из точек пересечения сферы и плоскости, и данной плоскостью.
Определение. Углом между двумя пересекающимися окружностями (окружностью и прямой) в пространстве называется угол между касательными к окружностям, проведёнными через любую из точек пересечения окружностей. Углом между пересекающимися окружностью и прямой называется угол между касательной к окружности, проведённой через любую из точек пересечения окружности и прямой, и данной прямой.
С помощью движений пространства легко доказать корректность этих определений (т.е., что угол не зависит от точки пересечения сфер (окружностей), которую мы рассмотрели). Например, для сфер можно перевести одну точку пересечения в другую, сохранив сферы, поворотом вокруг оси, проходящей через центры сфер. Свойства инверсии. 1. Преобразование, обратное инверсии, – та же инверсия. 2. Прямая (плоскость), проходящая через точку О, переходит в себя. 3. Прямая (плоскость), не содержащая точку О, переходит в окружность (сферу), проходящую через точку О. 4. Окружность (сфера), содержащая точку О, переходит в прямую (плоскость), не содержащую О. 5. Сфера, не содержащая точки О, переходит в сферу. 6. Окружность, не содержащая точки О, переходит в окружность. 7. Сохраняется угол между пересекающимися сферами (плоскостями, сферой и плоскостью). 8. Сохраняется угол между пересекающимися окружностями (прямыми, окружностью и прямой). 9. Если А´, В´ - образы точек А, В, то . 10. Если сфера S´ - образ сферы S, то О – центр гомотетии, переводящей S в S´.
Доказательства свойств. Свойства 1-5, 7, 9, 10 доказываются аналогично свойствам инверсии на плоскости. Свойство 6 следует из того, что окружность можно представить в виде пересечения двух сфер. Докажем свойство 8. Будем говорить, что окружности (окружность и прямая) касаются, если они лежат на одной сфере (в одной плоскости) и имеют ровно одну общую точку. Как легко видеть, касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности (окружность и прямую) или параллельные прямые. Поэтому угол между образами окружностей равен углу между образами касательных прямых, проведённых через точку касания. Итак, утверждение достаточно доказать для пересекающихся прямых. При инверсии с центром О эти прямые переходят в окружности, проходящие через О. Причём касательные к ним в точке О параллельны этим прямым, т.е. угол между ними сохраняется.
Задача. Семь вершин выпуклого шестигранника, все грани которого – четырёхугольники, лежат на одной сфере. Доказать, что и восьмая вершина этого шестигранника лежит на этой сфере. Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 – наш шестигранник, и пусть для определённости вершина D1 – та вершина, про которую не известно, лежит ли она на данной сфере. Сделаем инверсию с центром в точке В. При этой инверсии данная сфера перейдёт в некоторую плоскость α. Точки B1´, C1´, C´, D´, A´, A1´, образы точек B1, C1, C, D, A, A1, лежат в плоскости α, причём точки C1´, D´, A1´ лежат на сторонах треугольника B1´C´A´ (см. рис.). Плоскости (B1A1C1), (CDC1), (DAA1) перейдут в сферы, описанные около тетраэдров BB1´A1´C1´, BC´D´C1´, BD´A´A1´. Точка D1 перейдёт в точку пересечения этих сфер, отличную от В. Фактически нам надо показать, что эта точка лежит в плоскости α. Для этого достаточно показать, что окружности, описанные около треугольников B1´A1´C1´, C´D´C1´, D´A´A1´, пересекаются в одной точке. А это уже простой факт планиметрии. Действительно, пусть окружности, описанные около треугольников B1´A1´C1´, C´D´C1´, пересекаются в точке О. Тогда, как легко убедиться, , и окружность, описанная около треугольника D´A´A1´, проходит через точку О. Доказательство завершено.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (498)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |