Синтез регулятора положения

Для облегчения дальнейшего синтеза релейного регулятора положения введем относительные координаты:

; ; ; ; .    (2.19)

Приводя замену переменных , (к=1,…,4), преобразуем уравнения в систему дифференциальных уравнений возмущенного движения:

  (2.20)

где  

Минимальное время отработки заданного перемещения позиционным следящим электроприводом (при наличии ограничений на максимальные значения тока и скорости) может быть обеспечено тогда, когда каждая ограничиваемая координата последовательно от входа к выходу объекта управления будет за минимально возможное время выведена на уровень ограничения и останется застабилизированной на этом уровне до тех пор, пока следующая координата не достигнет заданного значения. Качество управления таким электроприводом может быть задано функционалом:

                    (2.21)

с изменяющимися в отдельных точках траектории движения системы весовыми коэффициентами W₁₁, W₂₂, W₃₃. Эти точки определяют моменты стыковки законов управления, обеспечивающих оптимальную стабилизацию тока, скорости, положения.

Оптимальное управление, минимизирующее функционал (2.21) на траекториях движения системы (2.20) при ограничении  имеет вид:

    (2.22)

Коэффициенты А₄₁, А₄₂, А₄₃, А₄₄ являются коэффициентами функции Ляпунова, полная производная во времени которой, вычисленная в соответствии с системой (2.20), равна подынтегральной функции функционала (2.21) с отрицательным знаком.

Построение функции Ляпунова для системы (2.20) приводит к неопределенности, вызванной нулевым корнем характеристического уравнения системы. Этот корень обусловлен наличием в составе силовой части электропривода интегрирующего звена, осуществляющего преобразование угловой скорости вала двигателя в перемещение рабочего органа исполнительного механизма.

Для устранения такого рода неопределенности достаточно представить интегрирующее звено с передаточной функцией  в виде звена с передаточной функцией  и устремить постоянную времени  к бесконечности. При этом справедливо соотношение:

                                       (2.23)

В этом случае расчетная система дифференциальных уравнений возмущенного движения (2.20) видоизменится:

            (2.24)

где .

Матричное уравнение Барбашина для синтеза управляющего воздействия релейного регулятора положения примет вид.

Вычисление коэффициентов Ляпунова А₄₁, А₄₂, А₄₃, А₄₄ произведено с помощью прикладной программы MCAD и имеют следующие значения:

В большинстве систем позиционирования желательно обеспечить траектории наибольшего быстродействия, т.е. сформировать прямоугольный график тока, треугольный (трапецеидальный) – скорости и параболический – положения.

Чтобы упростить задатчик, считаем, что переходный процесс позиционирования является процессом второго порядка. Тогда, применительно к данной системе, на траектории наибольшего быстродействия ускорение движения должно изменяться по закону:

,               (2.25)

где  – ускорение и его максимальное значение;

 – линейная скорость движения, формируемая задатчиком;

 – соответственно задание на положение и выходная величина задатчика.

Структурная схема задатчика траектории, реализующего закон (2.25) приведена на рисунке 2.4

Рисунок 2.4 – Cтруктурная схема задатчика траектории положения

В соответствии с полученными схемами можно определить выходное напряжение регулятора положения:

.            (2.26)

Решая неравенство относительно сопротивлений , получим:

(2.28)

(2.29)