Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. Метод конечных разностей и метод конечных элементов

К наиболее известным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) относят метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

В основе МКР лежит конечно-разностная аппроксимация производных. Аппроксимация осуществляется в три этапа. Сначала в области решения вводят сетку узловых точек, обычно равномерную, соответствующую характеру задачи и граничным условиям. Затем решаемое уравнение записывают в желаемой системе координат, производные представляют в конечно-разностной форме, приводя исходное уравнение к разностном у виду. Полученное разностное уравнение используют в дальнейшем для описания функциональной связи между соседними узлами сетки.

Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с n неизвестными. На третьем этапе полученную систему уравнений решают каким-либо численным методом.

Рисунок – Примеры сеток, используемых в МКР

Для представления производных искомой функции в конечно-разностном виде используют усеченный ряд Тейлора, в котором отброшены члены порядка h² и выше. Для первой производной по координате х с координатами узла x=i, y=j можно получить следующие аппроксимации:

– аппроксимация разностью вперед

– аппроксимация разностью назад

– центрально-разностная аппроксимация

Аналогичные аппроксимации получаются по координате у. Например, для центрально-разностной аппроксиамации

МКЭ используется для решения тех же задач, что и МКР, основаны эти методы на разных идеях. В МКР проводится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Математическая основа МКЭ – вариационное исчисление.

Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, вместе с граничными условиями используется для постановки вариационной задачи, которая решается затем непосредственно.

В МКЭ физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. Основные этапы МКЭ (на примере расчета напряженного состояния объекта):

1. Разделение объекта на конечные элементы.

2. Выбор схемы интерполяции перемещений внутри элемента.

3. Определение связи между напряжением и деформацией в узлах.

4. Вывод уравнений для системы в целом.

5. Решение системы линейных уравнений.

6. Вычисление значений других величин.

На рисунке показано разбиение равномерно нагруженной квадратной пластины с эллиптическим отверстием в центре на 26 треугольных конечных элементов.

Рисунок – Пример разбиения на конечные элементы равномерно нагруженной пластины с эллиптическим отверстием