Численное решение ОДУ. Обзор методов. Задача Коши

Дифференциальным и называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на два класса:

– обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней;

дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными.

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значения зависимой переменной и ее производны х при некоторых значениях независимой переменной.

Наиболее часто в расчетной практике используют одношаговые и многошаговы е методы решения дифференциальных уравнений.

В одношаговых методах для нахождения функции у = у(х) в следующей точке x_i+1 используется информация о функции только в предыдущей точке x_i без использования итераций. Одним из таких методов является решение уравнений с помощью ряда Тейлора. Однако он обычно неудобен для практического использования. Удобные в применении методы этого класса (а их существует множество) включают в себя методы Рунге – Кутта. Эти методы являются прямыми (без итераций), однако требуют многократных повторных вычислений функции. Кроме того, при их использовании трудно оценивать допускаемую ошибку.

Многошаговые методы позволяют найти следующее значение функции, не производя многократных повторных вычислений, как при использовании одношаговых методов. Для достижения достаточной точности требуются итерации. Большинство методов этого класса называются методами прогноза и коррекции. Хотя и имеются некоторые трудности, связанные с использованием итерационной процедуры и получением нескольких начальных точек решения, но они уравновешиваются тем фактом, что оценку ошибки при использовании этого метода легко получить в качестве побочного продукта вычислений.

Если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время t.

Примером может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на пружине. Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором независимой переменной является время t. Если дополнительные условия заданы в виде значений перемещения и скорости при t =0, то имеем задачу Коши.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение

и начальное условие

Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной, а затем задавая для х₀ малое приращение h и переходя к новой точке x_i=x₀+h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая у=у(х). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

Преобразование ОДУ к стандартному виду для численного решения. Процедура PRAV (пояснить на примере)

Procedure Prav(var y,d:mas);

{ y[1] = x' – скорость массы

d[1] = x''– ускорение массы

y[2] = x – перемещение массы

d[2] = x' – скорость массы }

Begin

d[1] := (F – b*y[1] – c*y[2])/m;

d[2] := y[1];

end;

Процедура Prav (var y,d:max) предназначена для вычисления правых частей уравнений. Использованные в ней массивы типа mas:

y – вектор-решение (выходные параметры);

d – производные вектор-решения (производные выходных параметров).