Расчет вероятностей обнаружения сигнала на фоне помех

При расчете величины m, устанавливающей соотношение между полезным сигналом и шумом, необходимо учитывать их случайный характер. Пользуясь данными выше определениями таких критериев качества ОЭП, как вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F (см. § 11.2), рассмотрим один из возможных путей такого расчета.

Выше отмечалось, что вероятности D и F зависят от законов распределения случайных величин — полезного сигнала s, шумов и помех п, их смеси х, а также от выбранного порога срабатывания х_о.

С учетом приведенных выше формул для полностью известного (детерминированного) полезного сигнала и гауссовской помехи можно записать

 (14.14)

 (14.15)

где s_n и s_x — средние квадратические значения п и х; х₀ — порог обнаружения; и — математические ожидания (средние значения) х и n;

— интеграл вероятностей.

Если обозначить отношение пикового сигнала s к среднему квадратическому значению случайной составляющей смеси сигнала и помех s_x через m (отношение сигнал/шум), а отношение разности порога срабатывания х₀ и среднего значения помехи к s_x через m_п (отношение порог/шум), то можно записать

где m₀=m- m_п.

Для полезного сигнала в виде гауссовской случайной функции с дисперсией s_s² и математическим ожиданием = и аддитивной гауссовской помехи с = 0

 (14.16)

а величина F определяется выражением (14. 15).

При заданных или известных величинах и s_n вероятность ложной тревоги F зависит только от величины x₀, но не от значения сигнала. Это значит, что величину x₀ можно выбирать непосредственно по заданной вероятности ложной тревоги F. Вероятность правильного обнаружения D также зависит от x₀, т.е. может быть выражена как функция вероятности F. В то же время вероятность D является функцией не только x₀ (т.е. одновременно и F), но и функцией относительной величины полезного сигнала m = /s_x , если считать, что величина сигнала близка к среднему значению x, т. е. » . Зависимости вероятности правильного обнаружения от F и m принято называть характеристиками обнаружения или рабочими характеристиками системы обнаружения.

Величину m = /s_x иногда называют параметром обнаружения. В специальной литературе значения m рассчитаны для сигналов и помех различного вида. В качестве примера на рис. 14.5 приведены характеристики обнаружения D=f(F, m) для случая гауссовской помехи и сигналов с полностью определенными параметрами (штрих-пунктирные линии) и со случайной амплитудой и начальной фазой (сплошные линии).

Рис.14.5. Характеристики обнаружения

Законы распределения вероятностей сигналов от наблюдаемых или контролируемых объектов, а также помех и шумов иногда принято выражать в относительных единицах, причем часто абсолютные значения х, п, s нормируют к среднему квадратическому значению шума приемника s_п, что объясняется зависимостью s_п от вида приемника, размера его площади, полосы пропускания системы и ряда других конструктивных факторов, неизвестных на первых этапах энергетического расчета, а также тем, что именно шум приемника чаще всего определяет предельные возможности всего ОЭП.

Иногда рабочую характеристику системы строят как зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при различных отношениях эффективного (среднего квадратического) или амплитудного значения сигнала к среднему квадратическому значению шума. Для ее построения рассчитываются интегральные вероятности того, что амплитуды смеси сигнала и шума и одного шума превышают некоторый порог.

Часто обнаружение полезного сигнала на фоне помех происходит в течение достаточно длительного времени t_лт, заметно превышающего период просмотра поля обзора T_к (время кадра, период сканирования). В таких случаях необходимо учитывать изменения величин D и F по сравнению с теми, которые имеют место при обнаружении одиночного сигнала на фоне помех за один период просмотра поля. В [24] рассмотрена методика расчета отношения сигнал/шум m₀, требуемого для заданной частоты ложных тревог и заданной величины D, при условии, что за время T_к мгновенное угловое поле проходит каждую точку поля обзора за время t₀, а сигнал за время T_к возникает лишь один раз. Для этого случая полное число возможных случаев ложной тревоги составляет t_лт/t₀. Число этих возможных случаев за время обнаружения t_d равно t_d /T_к. Рассмотренная в [24] методика позволяет построить рабочие характеристики в виде зависимости произведения времени ложных тревог t_лт на ширину полосы пропускания Df»1/t₀ от величины m₀ при различных заданных вероятностях D.

Таким образом, рассчитав характеристики обнаружения для конкретных условий работы ОЭП или воспользовавшись уже известными характеристиками, находим по ним значение m, при котором обеспечиваются заданные значения D и F, а также требуемое отношение правдоподобия, т.е. решаем задачу, поставленную на третьем этапе обобщенной методики энергетического расчета ОЭП (см. § 14.2).

Для многих измерительных и следящих ОЭП выбор отношения сигнал/шум зависит от требований к их точности. Например, для оптико-электронной следящей системы, рассмотренной в § 10.1, величину m можно найти по формуле (10.6):

если известны заданная средняя квадратическая погрешность слежения s_a, линейная зона статической характеристики a_л и передаточный коэффициент цепи обратной связи K_з. Аналогичная (обратная пропорциональная) зависимость между m и s_a существует и для измерительных ОЭП.

 

 

14.7. Расчет отношения сигнал/шум на выходе системы первичной обработки информации

Полученные в гл. 10 выражения для спектров сигналов и шумов (помех) на выходе приемника излучения или на выходе системы первичной обработки информации ОЭП позволяют рассчитать отношение сигнал/шум, определяемое для оптимального фильтра общей формулой вида (11.11), а в случае учета некоррелированных внешних и внутренних шумов по формуле

 (14.17)

где S(jw) — спектр сигнала; W(w) и j(w) — спектральные плотности мощности (спектры Хинчина-Винера) внешних и внутренних шумов соответственно.

Числитель подынтегрального выражения определяется с помощью методики, рассмотренной в § 10.6. Часто в качестве внешнего шума рассматривают случайный сигнал, возникающий при сканировании «пестрого» излучающего фона, а в качестве преобладающей составляющей внутренних шумов — шум приемника излучения. Все спектры, входящие в эту формулу, приводятся к одной и той же точке структурной схемы ОЭП, например ко входу прибора или к выходу системы первичной обработки информации (СПОИ).

Методика такого приведения и преобразования многомерных (в простейшем случае двумерных) спектров детерминированного сигнала и шумов к одномерным спектрам — функциям временной частоты рассмотрена в гл. 10. Формулы, приведенные в §§10.6, 10.7, 10.8, 10.9, позволяют рассчитать отношение сигнал/шум на выходе СПОИ ОЭП, если известны спектры сигнала и помех, а также частотные характеристики оптической системы, анализатора-модулятора, приемника излучения, электронного тракта СПОИ.

Рассмотрим достаточно простую и удобную для ряда практических применений методику расчета отношения сигнал/шум на выходе приемника.

Если на вход ОЭП поступает сигнал в виде потока излучения Ф_с(l), являющегося функцией длины волны излучения l, то сигнал после его прохождения через оптическую систему, модулятор-анализатор и приемник излучения может быть представлен в виде

 (14.18)

Здесь k_м — коэффициент, учитывающий видоизменения и, в частности, потери мощности сигнала за счет модуляции потока, и преобразования сигнала в электронных звеньях ОЭП; t_o(l) — спектральная характеристика пропускания всей оптической системы, включая и модулятор; — спектральная характеристика вольтовой чувствительности приемника излучения для центральной частоты f_т полосы пропускания электронного тракта, при которой проводилась паспортизация приемника, т.е. определение s_v. Значения Ф_с(l) и в (14.18) берутся обычно в абсолютных единицах.

В общем виде k_м можно выразить через спектр сигнала на выходе модулятора Ф_x(w), частотную характеристику приемника s_v(w) и частотную характеристику электронного тракта K_э(w), как

 (14.19)

т.е. k_м(t) описывает форму сигнала на выходе СПОИ ОЭП. (Методика определения Ф_x(w) рассматривалась в § 10.6. Значения Ф_x(w), s_v(w) и K_э(w) берутся в относительных единицах). В зависимости от того, какое значение u_с.вых берется для образования отношения сигнал/шум — пиковое или эффективное, функцию k_м(t) можно заменить соответствующим коэффициентом k_м. На первых стадиях расчета ОЭП, когда частотные характеристики его звеньев неизвестны, можно для выбранного вида модуляции сигнала воспользоваться априорными приближенными значениями k_м. На практике часто удобнее в качестве аргумента спектров и частотных характеристик звеньев ОЭП использовать циклическую частоту f=w/2p.

Среднее квадратическое значение шума на выходе приемника излучения можно найти, если известны спектральные плотности мощности внутренних шумов j_ш(f) и внешних шумов W_a(f), приведенных ко входу приемника:

 (14.20)

О методике определения W_a(f) говорилось в § 10.9 (см., например, (10.9)). Реальные пределы интегрирования в (14.19) и (14.20) определяются полосой пропускания Df конкретного ОЭП.

Отношение сигнал/шум на выходе приемника в общем виде

 (14.21)

Рассмотрим случай, когда преобладают внутренние шумы — шумы приемника со спектральной плотностью j_ш(f), а внешними шумами можно пренебречь, т.е. считаем, что в (14.20) W_a(f) =0. Будем учитывать, что частоты модуляции при паспортизации w_т=2pf_т и при работе ОЭП w_с=2pf_с могут быть различны.

Иногда удобно пользоваться спектральной характеристикой не чувствительности s_v, а обнаружительной способности приемника, т.е. D^*(l), которую можно представить в виде

 (14.22)

где А — площадь чувствительного слоя приемника; s_шт — среднее квадратическое значение шума приемника в полосе Df, имеющее место при его паспортизации.

При f_т>> Df и постоянстве частотной характеристики s_v(f) в узкой полосе частот Df для условий паспортизации можно принять j_ш(f)=j_шт и

 (14.23)

Подставляя полученное из (14.23) значение в (14.21) с учетом (14.20) при W_a(f) =0, получим

Используя понятие об эквивалентной полосе шума Df_э, которая определяется как ширина идеализированного прямоугольного спектра мощности шума с амплитудой j_шс (на частоте f_с) и с площадью, равной площади реального спектра мощности шума, причем центр этой полосы лежит на частоте модуляции сигнала f_с, интеграл в знаменателе последнего выражения можно заменить следующим образом:

Принимая введенное в § 14.5 обозначение k_f для отношения (j_шт/j_шс)^1/2, получим формулу для расчета отношения сигнал/шум в рассматриваемом случае:

 (14.24)

Следует отметить, что при расчете m_u по формуле (14.24) и другим, рассмотренным ниже, необходимо учитывать зависимость  и от уровня фоновой засветки приемника, создаваемой, например, излучением сред, через которые проходит полезный сигнал, или помех, находящихся в угловом поле ОЭП. Этот учет возможен, если известны фоновые и энергетические характеристики  и .

Если при вычислении m_u по формулам (14.21), (14.24) и другим удобно пользоваться нормированными значениями  и , т.е. их спектральными характеристиками в относительных единицах, то следует пересчитать к условиям работы ОЭП абсолютные значения _max и _max, выносимые из-под знака интеграла в этих формулах. Методика такого пересчета описывалась в § 6.4.

Величину Ф_с(l), входящую в формулы для m_u, можно выразить через параметры излучателя, среды и ОЭП. Напомним, что в соответствии с принятыми в § 14.3 обозначениями для точечного излучателя — источника полезного сигнала

для «площадного» излучателя

                                                   (14.25)

для протяженного излучателя

Подставляя эти выражения в формулы для m_u соответственно конкретному типу излучателя, можно определить взаимозависимость параметров всех звеньев ОЭП.

В практике работы многих ОЭП преобладающее влияние имеют внешние шумы, прежде всего шумы фона (шумы модуляции «пестрого» фона). Если известна спектральная плотность этих шумов W_вх(w_r ) (двумерный или многомерный спектр Хинчина-Винера), то спектр мощности шума на выходе СПОИ может быть найден по методике, описанной в § 10.9, путем приведения спектра W_a(w) на выходе анализатора к выходу всей СПОИ.

Определение спектра мощности фоновых шумов W_вх(w_r ) (или выбор его модели) часто затруднено. Поэтому иногда рекомендуется (см., например, [24] ) в качестве исходной величины выбирать некоторый, чаще всего средний квадратический, уровень переменной составляю щей яркости «пестрого» фона s_Lф и считать фон протяженным излучателем. Тогда при малых угловых полях DW_ОЭП среднее квадратическое значение потока, приходящего от фона на вход ОЭП и образующего сигнал помехи на его выходе, будет

где t_с(l) — спектральный коэффициент пропускания среды распространения, А_вх — площадь входного зрачка, DW_оэп— телесный угол, соответствующий угловому полю ОЭП.

Отношение сигнал/шум для рассматриваемого случая

 (14.26)

Часто ОЭП должен чувствовать различие между сигналами, поступающими на его вход в случае присутствия в угловом поле наблюдаемого объекта и в случае его отсутствия. Анализ поля может проводиться путем сканирования анализатором или путем просмотра поля многоэлементным приемником. На рис. 14.6 показаны примеры сигналов, образующихся на выходе приемника при сканировании или просмотре поля, когда обнаруживаемый объект отсутствует (рис. 14.6,а) или присутствует (рис. 14.6, б) в просматриваемом поле.

Рис.14.6. Сигналы на выходе приемника излучения при сканировании поля обзора

Флуктуации сигнала могут возникать как вследствие шумов (пестрый фон, случайные дрожания ОЭП и т.п.), так и вследствие внутренних шумов, главным образом, шумов приемника излучения.

Контраст изображения объекта определяется разностью сигналов, соответствующих наличию и отсутствию объекта. Можно принять, что эта разность DF пропорциональна разности потоков, приходящих на вход прибора при наличии объекта и в его отсутствие (F_об и ).

Если считать, что среднее квадратическое значение потока s_Fвн, приходящего на вход ОЭП, остается постоянным в обоих случаях, то контрастное отношение сигнал/шум

может быть определено как

где — дисперсия внешних шумов;

  — дисперсия внутренних шумов, приведенных ко входу ОЭП.

Соответственно, контрастное отношение сигнал/шум на выходе ОЭП

где Du — разность сигналов на выходе ОЭП (его СПОИ); — среднее квадратическое значение шумов, приведенное к той же точке схемы ОЭП, что и Du.

Для расчета величины DФ, т.е. образования разности , можно воспользоваться теми же формулами (14.5), (14.6), (14.25) и им подобными, применительно к условиям работы конкретного прибора.

Например, если ОЭП работает в спектральном диапазоне l₁…l₂ и предназначен для обнаружения объекта, имеющего яркость L_об(l) и перекрывающего поочередно с фоном яркостью L_ф(l) все мгновенное угловое поле прибора DW_оэп, с учетом (14.8) можно записать

Приведенные выше формулы могут быть несколько видоизменены применительно к различным случаям работы или различным схемам ОЭП. Так, используя формулу (5.10), при малых угловых полях w и квадратной форме чувствительного слоя приемника, в которую вписывается сечение пучка в виде круга диаметром l₁, площадь чувствительного слоя можно представить как

 (14.27)

где телесный угол мгновенного поля зрения DW= (4/p)·(2tgw)²; K=f ¢/D. Подставляя (14.27) в (14.24) с учетом (14.25) для протяженного источника, получим

 (14.28)

или при круглой форме входного зрачка, т.е. при А_вх=pD ²/4,

В том случае, когда в оптической системе ОЭП применяется коллектив, т.е. размер площади приемника в соответствии с формулой (5.9) l₂=2DK_к tg w, последние выражения сохраняют свою справедливость при замене K на K_к.

Это выражение может быть использовано, например, при энергетическом расчете оптико-электронного радиометра.

При работе ОЭП активного типа, когда передающая система может быть представлена излучателем, имеющим площадь А_вых и яркость L¢ (см. § 14.3), а основным видом шума является шум приемника излучения, пользуясь описанной выше методикой, можно получить следующее выражение для отношения сигнал/шум:

 (14.29)

где k_м — коэффициент, учитывающий потери потока при модуляции (см. § 9.3). Здесь принимается, что передающая система, имеющая яркость источника L¢(l), коэффициент пропускания t₀₁(l), площадь выходного зрачка А_вых , имеет диаграмму направленности, полностью перекрывающую угловое поле приемной системы, т.е. рассматривается как протяженный излучатель. Такой случай типичен, например, для оптических систем связи.

В тех случаях, когда передающая система облучает («подсвечивает») исследуемый объект, а приемная система принимает отраженное или рассеянное излучение от этого объекта (см. рис. 14.3), выражение для величины m_u может быть найдено путем подстановки в (14.24) Ф_с(l), определенного по формуле, аналогичной (14.11), в которую следует ввести спектральный коэффициент пропускания приемной оптической системы t₀₂(l).