Логико-математические связи «понятия» квадратный трехчлен.

2. Выявление логико-математических связе при изучении темы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей» решаются следующие задачи: на использование признаков перпендикулярности прямой и плоскости; на построение прямой перпендикулярной плоскости; на нахождение угла между прямой и плоскостью; на построение плоскости перпендикулярной данной прямой; на построение плоскости перпендикулярной другой плоскости; на построение отрезка равного расстоянию от точки до плоскости; на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми и.т.

 Решение всех этих задач, требует умения правильно строить чертеж фигуры и ее элементов. Все элементы пространственной фигуры связаны между собой какими–то соотношениями, умение их найти, выразить неизвестные величины через, возможно, одну-единственную известную величину, требует установления внутрипредметных связей логико-математического характера.

Например:

Реализация внутрипредметных связей логико-математического характера при решении задачи на нахождение расстояния между прямой и плоскостью.

Чтобы ответить на вопросы задач, на нахождение расстояния между прямыми и плоскостями, надо уметь пользоваться свойствами прямых и плоскостей в пространстве, свойствами фигур на плоскости, знать тригонометрические формулы и уметь ими пользоваться, решать квадратные уравнения и многое другое.

Задача:

 Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁D₁. D и С₂ – середины ребер ВС и СС₁, АВ = АА₁ = а. Найдите расстояние до точки пересечения прямой A₁D с плоскостью АВС₂ от точки А₁.

При решении данной задачи на этапе построения точки P включаются следующие внутрипредметные логико-математические связи из курса стереометрии: свойство правильной призмы, свойства параллельных плоскостей, построение линии пересечения двух плоскостей. При нахождении расстояния А₁Р включаются внутрипредметные связи из курса планиметрии – свойства подобных треугольников, свойство средней линии треугольника, теорема Пифагора

Решение. Так как призма правильная, то в основании лежит правильный треугольник и она прямая. Построим точку пересечения прямой A₁D с плоскостью АВС₂. С этой целью построим вспомогательное сечение призмы какой- нибудь плоскостью, проходящей через прямую A₁D. Эта плоскость пересекает верхнее основание призмы по прямой А₁D½½AD (по свойству параллельных плоскостей), линией пересечения этого сечения AА₁D₁D и плоскости ABC₂ является AD_2, D₁D Ç ВС₂ = D_2.  Тогда А₁D и AD₂ лежат в одной плоскости и А₁D Ç AD₂ = P. Точка P искомая.

Теперь можно перейти к вычислениям.

Отрезок А₁Р, длина которого искомая, включен в треугольник АА₁Р. при этом ясно, что DD₁½½ AA₁. тогда треугольник АА₁Р ~ DD₂P, тогда . Так как АА₁ = а и DD₂ – средняя линия треугольника ВСС₂. То есть DD₂ = ½ *

B₁                    D₁             C₁      

                            A₁

                                               C₂

                   D₂

                            P               

B                    D                 C

                                           A

CC₂ = a/4, то  . Тогда А₁Р:А₁D = 4:5, из прямоугольного треугольника А₁АD . В итоге получим А₁Р = . Что и требовалось вычислить.