Средние показатели и показатели вариации образования в Рязанской области

 

Чтобы охарактеризовать статистическую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной, одной из важнейших характеристик вариационного ряда.

Средняя величина – это обобщающая характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений признака единиц наблюдений, то есть в замене X₁, X_2, X₃…X_n некоторой величиной .

В зависимости от характера признака, который усредняется и наличия исходной статистической информации в статистике используют следующие виды средних:

· средняя арифметическая;

· средняя гармоническая

· средняя квадратическая;

· средняя геометрическая.

Каждая их отмеченных видов средних может выступать в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя применяется при вычислении средней по первичным данным, взвешенная – по сгруппированным данным.

Самым распространенным видом средней, применяемой в социально-экономическом анализе, является средняя арифметическая. Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается одинаковое количество раз, то есть когда средняя рассчитывается по группированным единицам совокупности. Но чаще бывает так, что отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, то есть представляет собой ряд распределения.

В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную.

Формулы средней арифметической:

 

простой-  взвешенной-

 

Для определения средней арифметической необходимо иметь ряд вариантов и частот, то есть значения x и f . В некоторых случаях известны индивидуальные значения x и произведение xf, а частоты f неизвестны. Чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение w = x * f , отсюда:

 

Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и w исчислить среднюю. Выразим в формуле средней арифметической f через x и w и получим:

 

 

Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Формула средней геометрической имеет вид:

 

Среднюю арифметическую применяют тогда, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков.

В тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Средняя квадратическая рассчитывается по формуле:

 

простая – ; взвешенная –

 

Для характеристики величины варьирующего признака пользуются так называемыми структурными средними – модой и медианой. Величина моды и медианы, как правило, отличается от средней величины, совпадая с ней только в случае симметрии вариационного ряда.

Мода ( M ₀ ) – это значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Способ вычисления моды зависит от вида статистического ряда. Для атрибутивных и дискретных рядов распределения моду определяют визуально, без расчетов по значению варианта с наибольшей частотой.

В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал (интервал с наибольшей частотой) и значение моды в середине интервала рассчитывается по формуле:

M ₀ = X ₀ + h *____ f_m – f_m-1

( f_m – f_{m -1} ) + ( f_m – f_{m +1} ), где:

X ₀ – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f_{m -1} , f_m , f_{m +1} – частота соответственно домодального, модального и послемодального интервала.

Медианой ( M _е ) в статистике называют такое значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частностей. [4, стр. 11] Медиана для интервального ряда вычисляется для середины медианного интервала, за который принимается такой интервал, где сумма накопленных частот превышает половину значений частот ряда распределения. В данном случае для расчета медианы применяют формулу:

M _е = X ₀ + h *__ЅSf – S_m-1

f_m, где:

X ₀ – нижняя граница медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

Ѕ S f – половина суммы накопленных частот ряда распределения;

S_{m -1} – сумма накопленной частоты интервала, предшествующего медианному;

f_m – частота медианного интервала.

Медиана не зависит от амплитуды колебания ряда, от распределения частот в пределах двух равных частей ряда, поэтому ее применение позволяет получить более точные расчеты, чем при использовании других форм средних.

По данным ряда распределения таблица N4 определим структурные средние.

 

Таблица 4. Распределение районов Рязанской области по количеству общеобразовательных дневных учреждений на начало 2008/2009 учебного года

Группы районов по количеству ГОУ х	Число районов в группе f	X ¢	Xf	Накопленные частоты fm
До 15	5	10	50	5
От 15 до 25	9	20	180	14
От 25 до 35	8	30	240	22
От 35 до 45	5	40	200	27
Свыше 45	2	50	100	29
Всего:	29		770

 

M₀ = 15+10*  = 15+10*0,8 = 23

M_е = 25 + 10*14,5–14 = 25+10*0,0625 = 25,6 »26

Полученные таким образом расчеты средней и структурных средних свидетельствуют о том, что наиболее часто в Рязанской области встречаются районы с числом дневных общеобразовательных учреждений равным 23. Однако более половины районов области имеют 26 общеобразовательных учреждений, при среднем количестве общеобразовательных заведений в районах 27.

При изучении явлений и процессов общественной жизни статистика встречается с разнообразной вариацией признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности. Величины признаков изменяются под действием различных факторов. Очевидно, чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация.

При характеристике колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям вариации относят:

· размах вариации R = x max – x min;

· среднее линейное отклонение

· дисперсия s² =

· среднеквадратическое отклонение s = .

Эти показатели (кроме дисперсии) измеряются в тех же единицах, что и сам признак: в тоннах, метрах, секундах, рублях. К относительным показателям вариации относятся:

· коэффициент осцилляции К_осу =

· Линейный коэффициент вариации K_л..вар =

· Коэффициент вариации V =

Эти показатели выражаются в процентах или коэффициентах.

Наиболее простым способом измерения колеблемости является определение размаха вариации, то есть разности между максимальным и минимальным значениями признака. Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Показатель R выражается в тех же единицах измерения, что и варианты признака. Но размах вариации, как показатель колеблемости имеет существенный недостаток. Его величина определяется крайними значениями признака, в то время как колеблемость последнего в целом складывается из суммы всех значений. Поэтому размах вариации может в ряде случаев неправильно характеризовать колеблемость признака.

В статистическом анализе вариации имеет большое значение дисперсия (s²). Однако ее применение как мера вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, так как показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков.

Для характеристики колеблемости явлений среднеквадратическое отклонение сопоставляют с его средней величиной и выражают в процентах. такой показатель называют коэффициентом вариации и рассчитывают по формуле:

 

.

 

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Вычислим показатели вариации, для чего используем данные табл. 5.

 

Таблица 5. Расчетные значения показателей вариации

X	f	(x – ), x=27	(x – )2	(x – )2f
10	5	-17	289	1445
20	9	-7	49	441
30	8	3	9	72
40	5	13	169	845
50	2	23	529	1058
150	29	x	x	3861

 

s² = =  = 133,1

s = = 11,5

Коэффициент вариации:

 

V_s =  * 100% = * 100% = 42,7%

 

Среднеквадратическое отклонение показывает, что число общеобразовательных учреждений районов Рязанской области отклоняется от среднего размера на 11 единиц.

Значение коэффициента вариации свидетельствует о том, что рассмотренная совокупность количественно неоднородная, так как V_s >33%.