В связи с чем возникло понятие предела функции?
Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения функции в достаточно малой окрестности некоторой точки x0 или при . В связи с этим возникло понятие предела функции при и при . В зависимости от поведения функции y = f(x) геометрически возможны следующие ситуации (рис. 2.1–2.4).
2.3. Определение предела функции в случаях 1–4
Определение 1. . Определение означает, что число A будет пределом функции y = f(x) при в том случае, если для x, попавших в достаточно малую проколотую окрестность точки , соответствующие значения f(x) попадут в сколь угодно малую окрестность числа A (рис. 2.1). Заметим, что в определении предела не требуется, чтобы функция была определена в самой (∙)x0. Достаточно, чтобы функция была определена в проколотой окрестности (∙)x0. Определение 2. . Определение означает, что для достаточно больших x соответствующие значения f(x) будут отличаться от A сколь угодно мало ( рис. 2.2). Определение 3. . Определение означает, что для x, попавших в достаточно малую проколотую окрестность (∙)x0, соответствующие значения f(x) становятся сколь угодно большими (рис. 2.3). Определение 4. .
Определение означает, что для x достаточно больших соответствующие значения f(x) становятся сколь угодно большими (рис. 2.4). 2.4. Определение односторонних пределов функции В тех случаях, когда возникает необходимость в изучении поведения функции y = f(x) или только в левосторонней (x < x0) или правосторонней (x > x0) полуокрестностях точки x0 , используются так называемые односторонние пределы функции, для которых приняты обозначения обозначение предела слева) и (обозначение предела справа). ;
.
Из определения предела следует .
Пример 1.Исходя из определения 1, доказать, что .
Решение. . Таким образом, задача сводится к доказательству существования числа δ > 0 для любого наперед заданного ε > 0 ( в частности, сколь угодно малого):
Таким образом, если взять , то
, а это и означает, что . Заметим, что величина δ зависит от ε , причем чем меньше ε , тем меньше δ. Чтобы проиллюстрировать определение геометрически, преобразуем данную функцию, разложив ее числитель на множители: . График заданной функции при будет совпадать с графиком линейной функции y = 4x–1(рис. 2.5). Стрелки на графике функции иллюстрируют тот факт, что функция не определена в точке x0 = 2.
Пример 2.Изобразить схематично график функции y= f(x), удовлетворяющей условиям:
Решение. график функции вблизи точки x = -2 прижимается к прямой x = –2 , устремляясь вниз. график функции y = f(x) вблизи точки x = 2 прижимается к прямой x = 2 , устремляясь вверх. график функции y = f(x) при x→∞ прижимается к оси Ox. график функции пересекает ось Ox в точках . Один из возможных вариантов графика такой функции имеет вид:
Пример 3.Используя символику теории предела, записать особенности поведения функции y = f(x), график которой изображен на рис. 2.7.
Решение.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (397)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |