Элементарными функциями?

Существует 7классов простейших элементарных функций:

1. Целая рациональная функция (многочлен)

y = P_n(x) = a_nxⁿ+ a_{n – 1}x^{n – 1}+ … + a₁x + a₀ ,

где , a_i – коэффициенты многочлена (действительные числа), X = (–∞; ∞). Множество значений многочлена зависит от его коэффициентов. Простейшими рациональными функциями являются:

y = kx + b – линейная функция,

y = ax² + bx + c – квадратный трехчлен.

2. Дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

.

Функция определена при всех действительных x, за исключением точек, в которых Q(x) = 0.

Простейшей функцией этого класса является

, .

3. Степенная функция

y = x ^λ , где .

Область определения и множество значений зависят от показателя степени λ . Примеры степенных функций:

y = x² , X = (–∞; ∞) , Y = [0; ∞);

y = x³ , X = (–∞; ∞) , Y = (–∞; ∞);

или y = x^1/2 , X = [0; ∞) , Y = [0; ∞);

или y = x^1/3 , X = (–∞; ∞), Y = (–∞; ∞);

или y = x ^{– 1/2} , X = (0; ∞) , Y = (0; ∞).

4. Показательная функция

y = a^x , где a>0 , a≠1, X = (–∞; ∞) , Y = (0; ∞);

y = e^x , где e=2.718281828459045…,

X = (–∞; ∞), Y = (0; ∞).

5. Логарифмическая функция

y = log_a x, где a>0 , a≠1,

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞);

y = ln x, основанием логарифма, в этом случае, является число e. Такой логарифм называют натуральным.

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞);

y = lg x, основанием логарифма является число 10. Такой логарифм называют десятичным.

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞).

6. Тригонометрические функции

y = sin x, X = (–∞; ∞), Y = [–1;1];

y = cos x, X = (–∞; ∞), Y = [–1;1];

y = tg x, , Y = (–∞; ∞);

y = ctg x, x ≠ πk, Y = (–∞; ∞).

7 Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x, X =[–1;1], ;

y = arccos x, X =[–1;1], Y = [0; π];

y = arctg x, X = (–∞; ∞) , ;

y = arcctg x, X = (–∞; ∞) , Y = (0; π).

Функции классов 1–3 принято называть алгебраическими. Функции классов 4–7 называются трансцендентными.

Графический обзор простейших элементарных функций

y = kx+b, k>0 y = kx+b, k<0

Рис. 1.3 Рис. 1.4

 

y = ax²+bx+c , D = b² – 4ac

 

	Рис. 1.5 Рис. 1.6 Рис. 1.7

	Рис. 1.8 Рис. 1.9 Рис. 1.10

y = a ^x, y = log_a x, a >1 y = a^x, y = log_a x , 0 <a < 1

 

 

Рис. 1.11 Рис. 1.12

 

y = sin x

Рис. 1.13

y = cos x

	Рис. 1.14

 

y = tg xy = ctg x

Рис. 1.15 Рис. 1.16

 

y = arcsin x y = arcos x

Рис. 1.17 Рис. 1.18

 

y =arctg x y = arcctg x

Рис. 1.19 Рис. 1.20

1.6. Известен график функции y = f(x). Как построить графики функций y = f(x+a), y = f(x)+b, y = f(k ∙ x), y = k ∙ f(x) ?

 

График функции y = f(x+a) получается из графика функции y = f(x) его параллельным сдвигом вдоль оси Ox на единиц влево при a >0 и вправо при a < 0.

График функции y = f(x)+b получается из графика функции y = f(x) его параллельным сдвигом вдоль оси Oy на единиц вверх при b >0 и вниз при b < 0.

График функции y = f(k ∙ x), k > 0 получается из графика функции y = f(x) его сжатием к оси Oy в k раз при k > 1 и растяжением в при k < 1.

График функции y = k ∙ f(x), k > 0 получается из графика функции y = f(x) его растяжением от оси Ox в k раз при k > 1 и сжатием к оси Ox в при k < 1.

Пример 1.Построить график функции

Решение.Преобразуем функцию таким образом, чтобы можно было воспользоваться графиком функции :

 

График заданной функции получим, если гиперболу (рис. 1.21) сместим вдоль оси Ox вправо на две единицы и затем сдвинем полученный график вверх вдоль оси Oy на одну единицу (рис. 1.22).

Рис. 1.21 Рис. 1.22

Пример 2.Построить график функции

Решение.График данной функции получится путем сжатия к оси Oy в 2 раза графика функции (рис. 1.23).

	Рис. 1.23