Введение новой переменной
Во многих случаях, чтобы найти , имеет смысл сделать замену , при этом если то . Пример 1.Найти Решение.Введем новую переменную или Очевидно, при переменная Тогда
Использованы формулы приведения и первый замечательный предел. Пример 2.Найти Решение.Введем новую переменную При переменная Тогда
3. Раскрытие неопределенностей вида При нахождении , где Pn(x) и Qm(x) – многочлены, используется метод деления числителя и знаменателя на xk , где k – наибольшее из чисел m и n. Аналогичный прием используется и при нахождении пределов иррациональных неопределенностей вида . Пример 1.
Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x3. Тогда
так как – бесконечно малые величины при . Пример 2.
Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x5. Тогда
Пример 3. Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x3. Тогда
Сравнивая полученные в примерах 1–3 результаты, можно сделать вывод: (an и bn – коэффициенты при xn многочленов Pn(x) и Qn(x) соответственно). Этот вывод позволяет в простейших случаях находить без каких-либо преобразований. Например,
Перейдем к решению более сложных примеров. Пример 4. Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на :
Заметим, что в этом примере наивысшие степени переменной в числителе и знаменателе равны (и там, и там это ), поэтому ответ оказался равным отношению коэффициентов при . Пример 5. Решение.Напомним, что Разделим почленно числитель на знаменатель:
4. Раскрытие неопределенностей вида и Каждую из неопределенностей и стараются свести к неопределенностям и . Далее используют соответствующий способ раскрытия неопределенного выражения полученного вида. Пример 1.Найти Решение.Вынесемзнак минуса из знаменателей за общую скобку и приведем разность к общему знаменателю Пример 2.Найти Решение. Осталось воспользоваться первым замечательным пределом Пример 3.Найти Решение.Умножим и поделим заданное выражение на сумму Тогда Пример 4.Найти Решение. Использован первый замечательный предел: ( при ). Пример 5.Найти Решение.Воспользуемся тем, что Тогда Использованы непрерывность логарифмической функции и первый замечательный предел.
5. Раскрытие неопределенностей вида Неопределенности вида раскрываются с помощью второго замечательного предела, который можно записывать двумя способами: (3) или . (4) Напомним, что второй замечательный предел получен на основании равенства , полученного в теории последовательностей. Особенность пределов (3) и (4) состоит в том, что в основании степени и в (3), и в (4) к числу 1 прибавляется бесконечно малая величина, а в показателе степени стоит бесконечно большая величина, в точности обратная той, которая прибавляется к 1. В результате имеет место неопределенное выражение . Это наблюдение позволяет записать (3) и (4) в виде , где α(x) → 0 при x → x0 . (5) Запись (5) позволяет формально достаточно просто использовать второй замечательный предел при раскрытии неопределенностей вида . Перейдем к вычислению пределов. Пример 1. так как . Пример 2. так как. Использованный при решении примеров прием очень прост: показатель степени умножают и делят на одно и то же выражение, играющее в примере роль α(x). В первом примере во втором . Пример 3. . Использованы непрерывность степенно-показательной функции и второй и первый замечательные пределы. Пример 4.
так как
Пример 5. . Найдем Это означает, что имеет место неопределенность (1∞), и мы имеем право использовать второй замечательный предел: Пример 6. . В этом примере, в отличие от всех предыдущих, Это означает, что второй замечательный предел применять нельзя, тем более, что заданное выражение никакой неопределенности при x → ∞ не представляет:
Примеры 7–10 решены с помощью следствий второго замечательного предела: 1. . 2. . 3. . 4. . Заметим, что следствие 2 является частным случаем следствия 1, а следствие 4 – частным случаем следствия 3.
Все следствия легко доказываются. Докажем, например, следствие 1: Использованы непрерывность логарифмической функции и второй замечательный предел. Следствия 1–4 позволяют раскрывать неопределенные выражения вида , содержащие логарифмическую и показательную функции. Пример 7.
Использовали следствие 2. Пример 8.
так как (следствие 3), а Пример 9.
. Пример 10. , здесь по следствию 4, роль бесконечно малого аргумента играет разность (x – 1) при x → 1. Можно было сделать замену x – 1 = t . Тогда
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (701)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |