Логическое следование (импликация)

 

Импликация от латинского слова «implico» – связываю.

 

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одном с помощью оборота речи «Если … , то …»

 

Если А, то В | А ® В, где А – предпосылка, В – вывод

 

Таблица истинности:	А	В	А® В	Из неверной предпосылки может следовать что угодно.

 

Сложное высказывание, образованное с помощью операции логического следования, ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки следует ложный вывод

 

Задание 1. Определите, истинны или ложны логические высказывания:

а) Если число делится на 10, то оно делится на 5.

б) Если число делится на 10 то оно делится на 3.

Задание 2. Докажите, что А ® В равносильно + В.

 

Задание 3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы:

( ) ® ( ® А).

Задание 4. Запишите в виде логических формул следующие высказывания:

а) Если ты уберешь в комнате или вымоешь всю посуду после ужина, то пойдешь на дискотеку

б) Если мне купят велосипед и роликовые коньки, то я буду хорошо учиться

в) Если вы имеете высшее образование или стаж работы три года и работали на ЭВМ четвертого поколения, то вы будете приняты на работу.

Задание 5. Для какого числа X истинно высказывание ((X>3) \/(X<3)) ® (X<1)

1)

2)

3)

4)

Обоснуйте свой ответ.

 

Домашнее задание

1. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание:

(X>4) \/ ((X>1) ® (X>4))?

1)

2)

3)

4)

2. На допросе свидетель А сказал, что показания В невер­ны. Следователь рассуждает так: "Если свидетель А ска­зал неправду, тогда В говорит правду, или свидетель А говорит правду, и В говорит неправду". Запишите рассуждения следователя в виде формулы.

3. Перевести на язык алгебры логики следу­ющее высказывание: "Если будет солнечная погода, то ребята пойдут на пляж, а если будет пасмурная погода, то ребята пойдут в кино".

Введем следующие простые высказывания:

С — солнечная погода;

П — ребята пойдут на пляж;

К — ребята пойдут в кино.

(Слайды 19, 20, 21)

Пример 5 (А12), на решение отводится 4 мин

Тема задания «Проверка закономерностей методом рассуждений»

Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1) CBB 2) EAC 3) BCD 4) BCB

Обсуждение решения.

1. правило содержит три условия, обозначим их так:

У1: третья бусина – A, B или C

У2-3: первая бусина – B, D или C, не совпадающая с третьей

У4-5: вторая бусина – A, B, C или E, не совпадающая с первой

2. фактически условия У2-3 и У4-5 сложные, их можно разбить на два, так что получится всего пять условий

У1: третья бусина – A, B или C

У2: первая бусина – B, D или C

У3: первая и третья бусины – разные

У4: вторая бусина – A, B, C или E

У5: первая и вторая бусины – разные

3. Теперь для каждого из ответов проверим выполнение всех условий;

	У1	У2	У3	У4	У5
1) CBB
2) EAC		´
3) BCD	´
4) BCB			´

 

в таблице крестик обозначает, что условие не выполняется для данного варианта; зеленым цветом выделена строка, где нет ни одного крестика, то есть все условия выполняются.

Таким образом, правильный ответ – 1

 

(Слайд 22)

Пример 6 (А12),на решение отводится 4 мин

Тема задания «Проверка закономерностей методом рассуждений»

Вася забыл пароль к Windows XP, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «23ABN12QR8N»: если последовательности символов «AB» и «QR» поменять местами, а затем из получившейся строки удалить все символы «N», то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) 23AB12QR8

2) 23QR12AB8

3) 23QRAB8

4) 23QR128

Пример решается самостоятельно и сверяется ответ (2)

 

(Слайд 23)

Следующий тип заданий относятся к части В. К данному разделу относятся задания В4, В6, В10.

Рассмотрим эти задания.

(Слайды 24, 25, 26)

Пример 7 (В6), на решение отводится 10 мин

Тема задания «Решение логических задач методом рассуждений»

На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

1) Токарь живет левее Столяра

2) Хирург живет правее Окулиста

3) Окулист живет рядом со Столяром

4) Токарь живет не рядом со Столяром

5) Виктор живет правее Окулиста

6) Михаил не Токарь

7) Егор живет рядом со Столяром

8) Виктор живет левее Егора

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Николай, Роман и Олег, ответ был бы: КНРО

Обсуждаем решение.

Внимательно прочитав первые четыре суждения. Можно расставить порядок следования жильцов по профессиям.

1) Токарь живет левее Столяра

2) Хирург живет правее Окулиста

3) Окулист живет рядом со Столяром

4) Токарь живет не рядом со Столяром

Получим: Т О С Х

Теперь разберём оставшиеся высказывания:

5) Виктор живет правее Окулиста

6) Михаил не Токарь

7) Егор живет рядом со Столяром

8) Виктор живет левее Егора

 

Получим таблицу:

	Т	О	С	Х
АЛЕКСЕЙ	+	-	-	-
ЕГОР	-	-	-	+
ВИКТОР	-	-	+	-
МИХАИЛ	-	+	-	-

 

Ответ – АМВЕ

(Слайд 27)

Дополнение.

А	В	С	А и В	не С	А и В и не С

 

2. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F

Какое выражение соответствует F?

1) ⌐X Λ ⌐Y Λ ⌐Z 2) X Λ Y Λ Z 3) X V Y V Z 4) ⌐X V ⌐Y V ⌐Z

Решение. Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос, надо знать, что произведение логических выражений равно 1, если все множители равны 1, а сумма равна 0, если все слагаемые нули.

Объясните, почему правильный ответ под номером 4.