Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка

y' = f(x,y) с разделяющими переменными

1. Рассмотрим производную y' как отношение дифференциалов ,

2. Перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

3. Разделим обе части уравнения на h(y) ≠ 0

4. Запишем уравнение в форме:

5. Проинтегрируем дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

6. Вычислим интегралы, получаем выражение

 

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка

вида

1. Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид или

2. Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

3. Разделим в уравнении переменные.

4. Выполним почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

5. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

6. Найдем решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций y = uv.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.

3. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.

4. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

5. Запишите формулу уравнение Бернулли.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

Тема: Разложение функций в ряд Фурье.

Цель работы:Закрепить и систематизировать знания по теме: «Ряды».

Задание: Найдите первые четыре члена ряда по заданному члену:

1.		4.
2.		5.
3.		6.

Задание: Найти формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

7.	1−8+27−64+125−216+343−….	10.
8.		11.
9.		12.

Задание: Найти предел частичной суммы ряда и сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:

13.		16.
14.		17.
15.		18.

Задание: Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера:

19.		22.
20.		23.
21.		24.

Задание: Разложите в ряд Фурье функцию:

25.		28.
26.		29.
27.		30.

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Частичная сумма ряда

Пусть — числовой ряд.

Число называется n-ой частичной суммой ряда .

 

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Признак Даламбера:

Если для ряда с положительными членами существует , то при p<1 ряд сходится, при p>1 ряд расходится, при p=1 вопрос о сходимости остается открытым.

Разложение в ряд Фурье периодических функций Т=2L,

Коэффициенты Фурье

;

;

; n = 1, 2, 3, …:; ; , n = 1, 2, 3, …

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение числового ряда.

2. Перечислите виды рядов.

3. Дайте определение понятию «сходящийся» и «расходящийся ряд.

4. Сформулируйте признак Даламбера.

5. Запишите общий вид тригонометрического ряда Фурье.