Нормальное уравнение плоскости

Три точки в пространстве , и , не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Очевидно, что точка лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы

,

,

компланарны. В соответствии с критерием компланарности это равносильно тому, что смешанное произведение указанных векторов равно нулю:

.

Последнее равенство и является уравнением плоскости, проходящей через данные три точки. Если расписать этот определитель (например, по элементам первой строки), то получим общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость определяется заданием вектора нормали , опущенного на плоскость из начала координат и длиной этого вектора. Пусть также , , - углы, образованные вектором с координатными осями , и . Тогда единичный, сонаправленный с вектором , вектор имеет координаты: . Точка лежит в указанной плоскости тогда и только тогда, когда справедливо равенство

.

Так как

,

то критерий принадлежности точки рассматриваемой плоскости может быть описан равенством:

.

Полученное равенство является уравнением данной плоскости, называемым ее нормальным уравнением.

Отклонением точки от данной плоскости называется расстояние от этой точки до плоскости, взятое со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от рассматриваемой плоскости, и взятое со знаком минус, если точка и начало координат лежат по одну сторону от рассматриваемой плоскости.

Рассмотрим произвольную точку пространства. Спроектируем эту точку на вектор . Пусть - полученная проекция. Отклонение точки от данной плоскости равно . Очевидно, что

.

При этом

.

Таким образом,

.

Другими словами, для нахождения отклонения точки от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо , и координаты этой точки. Очевидно, что расстояние от точки до плоскости определяется равенством:

Отметим, что общее уравнение плоскости

Можно привести к нормальному виду так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. Для этого нужно подобрать число такое, что

,

,

,

.

Возводя в квадрат первые три равенства, складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, получим:

,

Откуда

.

Из равенства следует, что знак должен выбираться противоположным знаку свободного коэффициента . Число , определяемое таким образом, называется нормирующим множителем. Если умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель, то получим нормальное уравнение. В соответствии с этими рассуждениями заключаем, что расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

.

Пример.Найти нормальное уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

∆ Воспользуемся формулой для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданные три точки , и :

.

В результате получим:

.

Полученное уравнение является общим уравнением плоскости. Приведем его к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель:

.

Умножим обе части общего уравнения плоскости на найденный нормирующий множитель:

.

Это и есть нормальное уравнение данной плоскости. ▲