Прогноз по стационарным моделям временных рядов
Наиболее популярным методом прогнозирования является использование моделей авторегрессии и скользящего среднего (АРСС), в которых не участвуют экзогенные (независимые) переменные. Модели данного класса служат для обработки стационарных временных рядов (рядов динамики). Модель АРСС включает две составные части: а) авторегрессионный процесс (АР). Выражает переменную в виде функции предшествующих значений , то есть . (9.9) Модель, описываемая соотношением (9.9), называется процессом авторегрессии порядка p. б) процесса скользящего среднего: . (9.10) Модель (9.10) носит название процесс скользящего среднего порядка q. Для построения модели АРСС следует объединить линейные формы процессов авторегрессии и скользящего среднего с моделью сдвига . Тогда получим: (9.11) Следует заметить, что уравнение (9.11) может адекватно описывать поведение временных рядов в экономике, если ряды динамики являются стационарными. Стационарность временного ряда означает, что зависимая переменная имеет постоянную среднюю и дисперсию в течение периода наблюдения, то есть , а также ковариации наблюдений зависят от длины между отсчетами. Приведем графическое изображение стационарного и нестационарного временных рядов (рис. 24).
Рис. 24
Сведение нестационарного ряда к стационарному с последующей его обработкой может быть осуществлено на основе метода последовательных разностей: , и т.д. Необходимый наивысший порядок последовательных разностей, при котором нестационарный временной ряд сводится к стационарному в условии ненулевого тренда, обозначим символом d. Тогда после нахождения прогноза необходимо рассчитать прогноз эндогенной переменной по формуле и т. д. Модель, учитывающая последовательные разности, носит название авторегрессии и интегрированного скользящего среднего АРИСС (p, d, q). Например, АРИСС (2, 1, 1) указывает на включение в уравнение двух авторегрессионных слагаемых (из конечных разностей первого порядка) и одного слагаемого модели скользящего среднего: АРИСС (2, 1, 1): . В условиях применения АРИСС-модели возникают три основные задачи: · оценка структуры модели, то есть спецификация параметров p, · оценка коэффициентов модели ; · прогнозирование переменной модели. Перейдем к решению этих задач: 1. Процедура спецификации модели обычно начинается с решения задачи оценивания порядка включаемых в модель конечных разностей d. Шаг 1.Производят изучение выборки данных, если Y проявляет тенденцию к росту, то вычисляют конечные разности 1-го поряд- Шаг 2.Проверяют парный коэффициент корреляции между зависимой переменной и лаговой переменной . При корректном выборе параметра d индикатор , тогда в качестве оценки принимают k*. Изобразим алгоритм остановки процесса преобразования исходной модели к стационарной с помощью графика , который носит название кореллограммы: Рис.25 2. Нахождение оценок параметров авторегрессии и скользящего среднего осуществляют в три этапа. Этап 1. Выбирают начальные значения и , по возможности наименьшие , . Этап 2. Оценивают АРИСС ( ) и находят остатки , с помощью которых рассчитывают частные коэффициенты автокорреляции: . Если , то сохраняют и , в противном случае увеличивают начальные значения ρ и q на единицу и повторяют этап 2 для модели АРИСС ( ) до тех пор, пока коэффициенты частной корреляции не обратятся в нуль. Приведем таблицу выбора моделей низких порядков АРИСС на базе определенных значений коэффициентов корреляции.
Этап 3. Закончив процесс оценивания структуры модели АРИСС, переходят к оцениванию ее коэффициентов. Следует заметить, что лишь при целесообразно применять классический МНК, а в противном случае требуется использовать операторы декорреляции или взвешенные модификации МНК. Для решения задачи нахождения прогноза используют модель где , . Процесс построения прогнозируемых значений происходит последовательно, начиная с оценки прогноза на один период, используя который, получают прогноз на 2 периода в будущее и так далее. Проиллюстрируем этот процесс для модели АРИСС (2, 0, 1): , . Для нахождения прогноза в момент времени Т+1 оценивают коэффициенты и после подстановки получают: , где остаток, полученный в момент Т+1, равен нулю. Далее, для получения прогноза в момент Т+2, имеют . Заметим, что процесс скользящего среднего с момента Т+2 уже не участвует в прогнозировании. Рассмотрим применение АРИСС-модели для прогнозирования темпа инфляции [17]:
Пример. В макроэкономике одной из центральных проблем является установление количественной взаимосвязи между темпом инфляции и уровнем безработицы. Современное состояние, основанное на концепции инфляционных ожиданий и расширившее классическую зависимость А.Филлипса, имеет вид [27]: , где – темп инфляции в момент t; – уровень безработицы в момент t; – естественный уровень безработицы, не воздействующий на темп инфляции. На основе статистических данных экономики США за 1977 – 1990 гг. об уровнях инфляции INF(t) и безработицы U(t) была построена эконометрическая модель вида: (9.12) . Качество модели (9.12) – достаточно высокое, действительно: а) t-статистики оценок параметров превышают табличные пороговые значения и позволяют сделать вывод о значимости коэффициентов модели; б) статистика Дарбина-Вотсона близка к значению 2, что говорит об отсутствии автокорреляции остатков при любом разумно малом уровне значимости α; в) коэффициент адекватности позволяет судить об очень высокой доле дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью уравнения авторегрессии АРИСС (1, 1, 0). Полученное уравнение имеет содержательную интерпретацию, которая позволяет сделать вывод о большой инерционности инфляционного процесса; более того, значение мультипликатора ( ), . Следовательно, , откуда . Поэтому естественный уровень безработицы в США по данным за 1977 – 1990 гг. составил около 6%. Пример. Согласно модели экономического роста Р.Солоу страны, имеющие большую норму сбережения и обладая высокой фондовооруженностью, будут иметь и больший доход на душу населения. Используя зависимость, соответствующую модели Солоу, эконометрическая зависимость удельного дохода примет вид: (9.13) где – удельный выпуск на душу трудоспособного населения L i-й страны, ; – средний темп роста численности населения i-й страны. По данным экономики США за 1960 – 1985 гг. была получена оценка зависимости (9.13) [14].
. Следовательно, доля общего дохода, обусловленная основными фондами, составила 60%. Эластичность удельного ВВП по норме сбережений составила 1,48, а по темпу роста населения – (–1,48). Среди многочисленных методов прогнозирования важную роль играют процедуры автопрогноза, в рамках которой имеющийся в наличии временной ряд подвергается экстраполяции только на базе его значений, полученных в прошлые периоды времени. Наиболее эффективное решение задач краткосрочного и среднесрочного автопрогноза производится на основании моделей авторегрессии и интегрированного скользящего среднего АРИСС (p, d, q): (9.14) где – ряд, полученный после применения к исходному ряду – кратной процедуры последовательных разностей, т.е.: Частными случаями модели (9.14) являются: модель авторегрессии AP (p) (9.15) модель скользящего среднего СС (q) (9.16) Модель (9.14) предназначена для описания нестационарных временных рядов , содержащих трендовую аддитивную составляющую , имеющих вид алгебраического полинома степени k – 1 с коэффициентами любого типа (случайного или детерминированного). Модели (9.15) и (9.16) описывают стационарные (в широком смысле) временные ряды, т.е. их средние , дисперсии и ковариации остаются постоянными в течение времени t. В теории рядов динамики основные кривые роста, описывающие трендовую составляющую , имеют вид, представленный в табл. 9.4. Из двух последних столбцов таблицы вытекает, что подбор кривых роста осуществляется путем вычисления характеристик прироста уровней ряда, которое выполняется по следующему алгоритму: 1. Производится сглаживание ряда динамики методом скользящей средней (т.е., для каждых – нечетных последовательно расположенных уровней ряда вычисляют среднюю величину, далее переходят к расчету средних для уровней (отбрасывая первый и добавляя следующий за ) и т.д. Общая формула имеет вид: . (9.17) Таблица 9.4
Формула (9.17) допускает последовательный расчет (9.18) 2. Вычисляют средние приросты по предварительно полученному ряду последовательных разностей соответствующих порядков (абсолютных приростов уровней ряда): Если начало отсчета времени находится внутри интервала сглаживания длиной m, то общая формула исчисления средних приростов имеет вид: . (9.19) Наиболее используемые частные случаи: Прямое вычисление средних приростов состоит в расчете средних арифметических абсолютных приростов: Общая формула прямого расчета (m = 2k+1): (9.23) 3. Образуют ряд производных характеристик от средних приростов, основные типы которых даны в третьем столбце табл. 9.1. 4. Полученный на предыдущем шаге ряд анализируется по признаку линейного развития во времени, на основании которого подбирают вид кривой роста (тренда) в соответствии с тенденцией, отмеченной в столбце 4 табл. 9.1. Рассмотрим иллюстративный пример выбор вида кривой роста.
Пример 9.1¢* Производство радиоаппаратуры на предприятии в течение 15 лет представлено в таблице:
Расчеты характеристик приростов представленного ряда помещены в табл.9.5. Таблица 9.5
Продолжение табл. 9.5
При рассмотрении графического изображения ряда по показателям можно сделать вывод о линейном тренде. По графикам (рис. 23) можно визуально отметить, что наибольшее приближение к линейному Оценивание параметра d модели АРИСС (p, d, q) основывается на следующем условии: (9.24) Если условие (9.24) выполняется, то порядок разностей (d), включенных в модель АРИСС (p, d, q), полагают равным . Рисунки графиков рядов и характеристик прироста: Рис. 26
Процесс преобразования исходного ряда к стационарному можно изобразить в виде графика-коррелограммы (рис. 27): Рис. 27
Для нахождения параметров и коэффициентов модели используют условие , (9.25) где – остатки оценивания модели по взвешенному МНК. В табл. 9.6 описаны признаки выбора порядков p и q модели АРИСС низких порядков: Таблица 9.6
Для решения задачи прогноза временного ряда применяют модель с наблюдаемыми остатками : где Процесс прогнозирования осуществляется последовательно, начиная с , далее и т.д. Например, для прогнозирования по модели АРИСС (2, 0, 1): Шаг 1. Оценивают коэффициенты их подстановка дает: Шаг 2. Далее , т.е. процесс скользящего среднего уже не участвует в прогнозировании. По рекомендациям, принятым в [2], не существует универсального метода прогнозирования, его выбор зависит от: а) глубины прогнозирования : если , считают прогноз краткосрочным; если – среднесрочным; если – долгосрочным; б) длины T наблюдаемого временного ряда (при ряд классифицируется как короткий, если – длинный); в) наличия в анализируемом временном ряду сезонной составляющей и значительной случайной («шоковой») составляющей. Приведем простейшие примеры нахождения статистического прогнозирования в задачах кратко- и среднесрочного прогноза. Попытки построения долгосрочных корректных прогнозов обречены на неудачу без привлечения экспертных оценок. 1) Рассмотрим модель временного ряда с постоянным трендом: 1.1) Метод скользящего среднего строит прогноз вида , где 1.2) Методом экспоненциального сглаживания Брауна , где Здесь экспоненциально-взвешенная скользящая средняя с параметром сглаживания вычисляется по формуле: 2) Для модели с линейным трендом: 2.1) Прогноз по методу скользящей средней: где Здесь
2.2) Прогноз по методу экспоненциального сглаживания: где
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (723)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |