Прогнозирование с помощью временных рядов

Конечной целью статистического анализа временных рядов является прогнозирование будущих значений исследуемого показателя. Различают долгосрочное и краткосрочное прогнозирование. В первом анализируется долговременная динамика исследуемого процесса, и в этом случае главным считается выделение общего направления его изменения (тренда). Для предсказания краткосрочных колебаний проводится более детальный регрессионный анализ с целью выявления большого числа показателей, определяющих поведение исследуемой величины.

Пусть оценивается модель вида в момент времени ( ). Значение – значение по уравнению регрессии, построенному по МНК. Тогда доверительный интервал для действительного значения имеет вид:

(7.26)

где – критическое значение, определяемое из приложения 1 для соответствующего уровня значимости и числа степеней свободы ; – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии); – значение объясняющей переменной в момент ( ); – дисперсия переменной .

После получения прогнозных значений необходимо проверить качество прогноза. Для этого используются следующие показатели:

· Относительная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле:

(7.27)

или

(7.28)

где , .

Чем больше значение ошибки (выраженное в процентах), тем хуже качество прогноза.

· Стандартная среднеквадратическая ошибка, рассчитываемая по формуле:

(7.29)

где – количество прогнозных периодов.

Значения показателя лежат в интервале от нуля до единицы. При прогноз абсолютно точен. Таким образом, чем ближе значение к нулю, тем точнее прогноз.

Пример.В таблице приведены данные по располагаемому доходу домохозяйств ( и затратами домохозяйств на розничные покупки за 22 года (табл. 7.1).

Таблица 7.1

	5,49	9,098			5,905	11,305
	5,54	9,137			6,125	11,43
	5,305	9,095			6,185	11,45
	5,505	9,28			6,225	11,697
	5,42	9,23			6,495	11,87
	5,32	9,348			6,72	12,018
	5,54	9,525			6,92	12,525
	5,69	9,755			6,47	12,055
	5,87	10,28			6,395	12,088
	6,157	10,665			6,555	12,215
	6,342	11,02			6,755	12,495

Необходимо оценить уравнение регрессии вида (принять ), проверить значимость коэффициентов , оценить качество построенной модели при помощи коэффициента детерминации.

Для расчета коэффициентов составим вспомогательную таблицу 7.2 (при этом рассчитанные средние значения равны , , ).

Таблица 7.2
	5,49	9,098	5,4	-0,5522	-1,7011	-0,581	0,3050	2,8939	0,3371	0,9394	0,3206	0,9877
	5,54	9,137	5,49	-0,5022	-1,6621	-0,491	0,2522	2,7627	0,2407	0,8348	0,2464	0,8155
	5,305	9,095	5,54	-0,7372	-1,7041	-0,441	0,5435	2,9041	0,1942	1,2563	0,3248	0,7509
	5,505	9,28	5,305	-0,5372	-1,5191	-0,676	0,2886	2,3078	0,4565	0,8161	0,3630	1,0264
	5,42	9,23	5,505	-0,6222	-1,5691	-0,476	0,3872	2,4622	0,2262	0,9764	0,2960	0,7463
	5,32	9,348	5,42	-0,7222	-1,4511	-0,561	0,5216	2,1058	0,3143	1,0481	0,4049	0,8136
	5,54	9,525	5,32	-0,5022	-1,2741	-0,661	0,2522	1,6234	0,4364	0,6399	0,3318	0,8417
	5,69	9,755	5,54	-0,3522	-1,0441	-0,441	0,1241	1,0902	0,1942	0,3678	0,1552	0,4601
	5,87	10,28	5,69	-0,1722	-0,5191	-0,291	0,0297	0,2695	0,0845	0,0894	0,0501	0,1509
	6,157	10,665	5,87	0,1148	-0,1341	-0,111	0,0132	0,0180	0,0122	-0,0154	-0,0127	0,0148
	6,342	11,02	6,157	0,2998	0,2209	0,176	0,0899	0,0488	0,0311	0,0662	0,0529	0,0390
	5,905	11,305	6,342	-0,1372	0,5059	0,361	0,0188	0,2559	0,1306	-0,0694	-0,0496	0,1828
	6,125	11,43	5,905	0,0828	0,6309	-0,076	0,0069	0,3980	0,0057	0,0522	-0,0063	-0,0477
	6,185	11,45	6,125	0,1428	0,6509	0,144	0,0204	0,4236	0,0208	0,0929	0,0206	0,0940
	6,225	11,697	6,185	0,1828	0,8979	0,204	0,0334	0,8062	0,0418	0,1641	0,0374	0,1835
	6,495	11,87	6,225	0,4528	1,0709	0,244	0,2050	1,1467	0,0597	0,4849	0,1106	0,2617
	6,72	12,018	6,495	0,6778	1,2189	0,514	0,4594	1,4856	0,2646	0,8261	0,3486	0,6269
	6,92	12,525	6,72	0,8778	1,7259	0,739	0,7705	2,9786	0,5467	1,5149	0,6490	1,2760
	6,47	12,055	6,92	0,4278	1,2559	0,939	0,1830	1,5772	0,8824	0,5372	0,4018	1,1797
	6,395	12,088	6,47	0,3528	1,2889	0,489	0,1244	1,6612	0,2395	0,4547	0,1726	0,6307
	6,555	12,215	6,395	0,5128	1,4159	0,414	0,2629	2,0047	0,1717	0,7260	0,2125	0,5867
	6,755	12,495	6,555	0,7128	1,6959	0,574	0,5080	2,8760	0,3299	1,2088	0,4094	0,9740
S							5,3998	34,1000	5,2208	13,0114	4,8397	12,5953

По формулам (2.17):

Таким образом, уравнение регрессии с учетом рассчитанных коэффициентов примет вид: .

Для определения статистической значимости коэффициентов и оценки качества уравнения регрессии составим следующую вспомогательную таблицу (табл. 7.3).

Таблица 7.3

	5,49	5,3960	-0,0940	0,008843
	5,54	5,4153	-0,1247	0,015542
	5,305	5,4032	0,0982	0,009642
	5,505	5,4558	-0,0492	0,002422
	5,42	5,4497	0,0297	0,00088
	5,32	5,4871	0,1671	0,02791
	5,54	5,5448	0,0048	2,29E-05
	5,69	5,6406	-0,0494	0,002444
	5,87	5,8383	-0,0317	0,001006
	6,157	5,9874	-0,1696	0,028757
	6,342	6,1321	-0,2099	0,044047
	5,905	6,2456	0,3406	0,11601
	6,125	6,2646	0,1396	0,019496
	6,185	6,2849	0,0999	0,009975
	6,225	6,3773	0,1523	0,023186
	6,495	6,4419	-0,0531	0,002824
	6,72	6,5111	-0,2089	0,043635
	6,92	6,7068	-0,2132	0,045453
	6,47	6,5496	0,0796	0,006342
	6,395	6,5348	0,1398	0,019545
	6,555	6,5760	0,0210	0,000442
	6,755	6,6862	-0,0688	0,00473
сумма				0,433155

По формулам (2.19) и (2.20) рассчитаем необъясненную дисперсию и стандартные отклонения случайных величин:

Определим значение -статистики для каждого из коэффициентов:

, , .

Критическое значение определим из приложения 1 для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы 22-2-1=19: .

Очевидно, что коэффициенты являются статистически значимыми, а коэффициент является статистически незначимым с уровнем значимости 0,1.

Определим для рассчитанного уравнения коэффициент детерминации (2.23): . Столь высокое значение коэффициента детерминации свидетельствует о высоком качестве модели. Поэтому не будем удалять переменную из уравнения.

Представим графически зависимость фактической переменной и переменной от (рис. 7.1).

Рис. 7.1