Вязкость (внутреннее трение). Закон Ньютона. Коэффициент вязкости

Вязкость (внутреннее трение) связано с возникновением сил трения между слоями газа (жидкости), перемешивающимися друг с другом с различными по модулю скоростями.

Со стороны слоя движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила и наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущиеся слои газа (жидкости). Силы трения которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев. С молекулярно-кинетической точки зрения причиной вязкости является упорядоченное движение слоев с различными скоростями u и хаотичного движения молекул υ.

Согласно закону Ньютона сила трения между двумя слоями газа или жидкости равна.

Эмпирическое уравнение вязкости, закон Ньютона:

где η – коэффициент вязкости; - величина показывающая, как быстро изменяется

скорость течения жидкости или газа в направлении z, перпендикулярном к направлению движения слоев (градиент скорости u), S – площадь лежащей на границе между слоями поверхности, по которой действует сила F.

Согласно 2-му закону Ньютона:

или, , тогда

Уравнение Ньютона для внутреннего трения можно представить в виде:

где Δр_им – импульс, передаваемый от слоя к слою за секунду (Δt=1 с), т.е. поток импульса через поверхность S. Знак «минус» в формуле обусловлен тем, что импульс «течет» в направлении убывания скорости u. Поэтому знаки импульса и градиента скорости u противоположны.

В формуле Ньютона минус писать нельзя, потому что она определяет одинаковый модуль двух противоположно направленных сил, с которыми слои действуют друг на друга. Кроме того нужно брать модуль градиента скорости, так как производная может иметь любой знак, а модуль силы – положительная величина.

Рассмотрим происхождение силы внутреннего трения.

Рассмотрим два соприкасающихся слоя газа толщиной Δz. Слои движутся с различными скоростями u₁ и u₂. Каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна <υ>, и упорядоченном движении со скоростью потока u. Скорость потока намного меньше, чем скорость теплового движения. В неподвижном газе средний импульс молекулы равен нулю. Молекула в потоке газа обладает средним импульсом mu. При рассмотрении внутреннего трениянас будет интересовать этот импульс.

Пусть в некоторый момент времени слои обладают импульсами р_им1 и р_им2. При отсутствии внешнего воздействия на слои, их импульсы не могут оставаться неизменными, так как вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. Попав в другой слой, молекула претерпевает столкновения с молекулами этого слоя, в результате чего она отдает избыток своего импульса другим молекулам ( если она прилетела из слоя, движущегося быстрее), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она прилетела из слоя, движущегося медленнее). В итоге импульс слоя, движущегося быстрее, убывает, а слоя, движущегося медленнее, возрастает. Следовательно, слои ведут себя так, как если бы к слою, скорость которого больше, была приложена сила, тормозящая его движение, а к слою, скорость которого меньшая, - такая же по модулю сила, ускоряющая его движение. Таков механизм возникновения сил внутреннего трения.

Через поверхность S, лежащую на границе раздела слоев, переходит в единицу времени из одного слоя в другой количество молекул, определяемое выражением:

на среднюю скорость молекул в направлении, перпендикулярном к слоям, движение слоев со скоростью u не оказывает влияния). В результате возникает в направлении от более быстрого слоя к более медленному поток импульса через поверхность S, равный:

В реальном потоке газа скорость при переходе через воображаемую границу двух слоев изменяется не скачком, а непрерывно по закону u=u(z). Будем считать, что каждая молекула, пролетающая через поверхность S, несет с собой импульс mu, определяемый скоростью u в том месте, где произошло столкновение молекулы. Это столкновение происходит на различных расстояниях от S. В среднем последнее столкновение происходит на расстоянии, равном длине свободного пробега λ. Поэтому молекулам, летящим в направлении оси z, припишем значение скорости u₁=u(z–λ), а молекулам, летящим в противоположном направлении, – значение скорости u₂=u(z+λ). Подстановка этих значений в формулу для потока импульса через поверхность S в направлении оси z дает выражение:

Произведение nm равно плотности газа ρ. Поэтому полученное уравнение можно записать в виде:

Сравнение полученного уравнения с эмпирической формулой Ньютона дает для вязкости выражение:

Размерность вязкости [η] = 1 (кг/(м∙с)) = 1 (Па∙с).