Идеальный газ во внешнем гравитационном поле

Пусть ИГ находится во внешнем гравитационном поле (в поле силы тяжести Земли). При нахождении концентрации молекул газа n(x, y, z) в этом поле будем исходить из предположения, что любой бесконечно малый объем газа находится в состоянии механического равновесия, а температура газа T во всех точках одинакова. Только при выполнении этих условий состояние газа можно считать равновесным, так как иначе в газе возникли бы потоки вещества и теплоты, что сделало бы состояние газа неравновесным.

Поле силы тяжести Земли будем считать однородным. Ось OZ направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты z (высоты h): n=n(z)или n=n(h). На рис. (1) схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа dV=dSdz, находящийся в равновесии.

Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление p, а сверху – соответственно давление p+dp. Разность давлений на нижнее и верхнее основание выделенного объема газа dV=dSdz равна гидростатическому давлению:

где: r=(Mp)/(RT) – плотность газа, g – ускорение свободного падения, M – молярная масса газа.

Отсюда

Подставим в полученное выражения плотность газа:

Из этого уравнения следует, что

Интегрирование последнего уравнения при условии позволяет определить зависимость давления от высоты:

где p₀ - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.

С учетом формулы для постоянной Больцмана:

и того, что М = m₀N_A и z = h

Опыт Перрена.

Распределение Больцмана было использовано французским физиком Жаном Батистом Перреном (1870–1942) при экспериментальном определения постоянной Больцмана k и постоянной Авогадро N_A.

В работах, выполненных Перреном в 1908-1911 гг., измерялось распределение концентрации микроскопических частиц во внешнем гравитационном поле. Отметим, что совокупность микрочастиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости, близка по своей молекулярно-кинетической структуре к идеальному газу и может описываться газовыми законами. Это дает возможность при определении распределения микрочастиц во внешнем силовом поле использовать формулу Больцмана.

Исследуя в микроскоп броуновское движение, Ж. Перрен убедился, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к этим частицам больцмановское распределение, можно записать:

где m – масса частицы,

m₁– масса вытесненной ею жидкости;

m=4/3πr³ρ, m₁= 4/3πr³ρ₁

(r – радиус частицы, ρ – плотность частицы, ρ₁– плотность жидкости).

Если n₁ и n₂ – концентрации частиц на уровнях h₁ и h₂,

Значение N_A, получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значениям, полученным в других опытах. Это подтверждает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана.