Тема 3.4 Формула Бернулли

Схема Бернулли: Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие , либо противоположное ему событие . Проведем испытаний Бернулли. Это означает, что все испытаний независимы; вероятность появления события в каждом отдельно взятом или единичном испытании посто­янна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в оди­наковых условиях). Обозначим вероятность появления события в единичном испытании буквой , т.е. , а вероятность - буквой , т.е. . Найдем вероятность наступления события ровно раз ( не наступления раз) в этих испытаниях. Отметим, что не требуется появление раз события в определенной последовательности. Вероятность пропорциональна произведению , причем коэффициент пропорциональности равен , т.е.

.

Эту формулу называют формулой Бернулли.

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний достаточно велико, про­изведение то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит раз, приближенно равна , т.е. . Эту формулу называют формулой Пуассона ииспользуют, когда , лучше , а .

Вычисление по формуле Бернулли трудно практически осуществить при .

Если производится одинаковых испытаний, в каждом из которых вероят­ность появления события равна , то вероятность того, что данное событие появится раз, определяется по формуле

. , - функция Гаусса.

Эту формулу называют локальнойформулой Муавра-Лапласа используют, при и , значительно отличающемся от нуля и единицы.

Для вычисления вероятности того, что частота , заключена между данными значениями и , приме­няют интегральную формулу Муавра-Лапласа, выраженную асимптотической формулой

, где

, , - функция Лапласа.

Пример 1.Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них, за это время, равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n=5 (число испытаний, то есть число элементов), m (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в m элементах):

Получаем
а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти:

.

б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять):

в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет):

Ответ: 0,0512; 0,00672; 0,67232.

Пример 2. Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали p=0,0001. Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей.
Решение. Обозначим n=100000, k=5, p=0,0001. События, состоящие в том, что отдельная деталь бракована, независимы, число испытаний велико, а вероятность мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона