Основы теории комплексных чисел
По данной теме сначала изучите главу 3 §12-17 учебника [ 3]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Комплексными числами называются числа вида , где a и b – действительные числа, а число i, определенное равенством , называется мнимой единицей. Для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом: 1) два комплексных числа и называются равными, если = и = ; 2) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ( + )+( + )i; 3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число ( - )+ ( + )i. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа , а действительное число b – мнимой частью. Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: . При а=0 комплексное число обращается в чисто мнимое число . Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается , то есть . Комплексные числа вида и называются противоположными. Модулем комплексного числа называется число . Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число: , причем тогда и только тогда, когда . Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами . При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0, 0) и концом в точке М . Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом в точке . Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства. I. Длина вектора равна . II. Точки и симметричны относительно действительной оси. III. Точки и - симметричны относительно точки =0.
V. Расстояние между точками и равно
Угол между действительной осью Ох и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа . Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки – отрицательной. Аргумент комплексного числа записывается так: или Для числа аргумент не определен. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента. Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства: ; (*) Справедливо и обратное утверждение, то есть, если выполняются оба равенства, то . Таким образом, все значения аргумента можно находить, решая совместно уравнения (*). Значения аргумента комплексного числа можно находить и так: 1) определить, в какой четверти находится точка (использовать геометрическую интерпретацию числа ); 2) найти в этой четверти угол , решив одно из уравнений (*) или уравнение ; 3) найти все значения аргумента числа z по формуле .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1356)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |