Решение систем линейных уравнений матричным методом

Определение матрицы, действия над матрицами.

Прямоугольная таблица, составленная из элементов (в частном случае чисел) и имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей типа mxn.

Элементы матрицы А обозначаются , где i – номер строки, а j – номер столбца, в пересечении которых находится элемент.

Если в матрице , то матрица называется прямоугольной.

Если m=n, матрица называется квадратной. Для квадратной матрицы общее число строк или столбцов называют порядком матрицы.

Например, - квадратная матрица третьего порядка.

Матрица, имеющая только один столбец, то есть n=1, называется матрицей – столбцом (или вектором – столбцом).

- трехмерный вектор – столбец.

Для квадратных матриц вводятся понятия главной и побочной диагоналей.

Главная диагональ – это диагональ, проходящая чрез верхний левый и правый нижний углы матрицы. Побочная диагональ проходит через верхний правый и нижний левый углы матрицы.

Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю, называется единичной (Е).

Например, - единичная матрица третьего порядка.

Две матрицы А и B называются равными, если они одинакового типа mxn и имеют равные соответствующие элементы, то есть . Действия над матрицами одного типа рассматриваем на примере матриц А и B.

и

Сумма двух матриц А и B одинакового типа: C = A + B и .

Разность матриц одинакового типа: D = A – B и

Произведение матрицы А на число k: L = Ak и

Произведение двух матриц AxB, типы которых mxn и pxq (n=p): C=AxB (матрица С имеет тип mxq) ,

То есть, равно сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы B.

Следует отметить, что в общем случае , поэтому нельзя менять местами множители.

Определитель матрицы.

Понятие определителя связано с понятием квадратной матрицы. Определитель квадратной матрицы – это число, поставленное в соответствие данной матрице.

Обозначения определителя:

Рассмотрим правила вычисления определителей:

- Второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

,

Например: .

- Третьего порядка

Например:

Рассмотрим такие понятия, как минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца. Обозначается .

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Например, найдем минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы:

Решение:

Справедлива теорема: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Эту формулу называют разложением определителя по элементам i-той строки.