Исследование функции методами дифференциального исчисления

При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо: а) найти область определения функции; б) исследовать функцию на непрерывность; в) найти точки пересечения графика функции с осями координат; г) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; д) найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

Например. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

а) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

б) Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, то есть на интервале .

в) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Оу подставим в уравнение функции х=0. Тогда у=5. Значит, график функции пересечет ось Оу в точке А (0; 5).

Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью Ох следует решить уравнение . Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его решение громоздко (оно может быть найдено, по формулам Кардано) и не приводится здесь.

г) Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции воспользуемся следующими достаточными признаками: если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Продифференцируем данную функцию:

.

Корнями производной являются , (критические точки первого рода.

Определим промежутки знакопостоянства производной , используя метод интервалов. На числовой оси отметим в порядке возрастания критические значения , аргумента х ( в этих точках производная данной функции обращается в нуль).

Данная функция возрастает на интервалах ( ) и (3; ) (здесь производная положительна) и убывает на интервале (-1; 3) (здесь ).

Для исследования критических точек , и на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком экстремума функции: если функция дифференцируема в точке и ее окрестности и ее производная слева от этой точки положительная (отрицательна), а справа – отрицательна (положительна), то в точке функция имеет максимум (минимум).

При переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум.

Значит, В - точка максимума.

Так как при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, то С (3; -4) – точка минимума.

д) Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки: если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) в каждой точке интервала (a; b) , то на этом интервале график функции является вогнутым (выпуклым); если и либо не существует и при переходе через точку вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба кривой .

Найдем вторую производную функции :

при x=1 (критическая точка второго рода). На интервале ( ) вторая производная отрицательна, поэтому график функции на этом интервале является выпуклой кривой; при , поэтому графику функции вогнут на этом интервале. Так как при переходе через точку x=1 вторая производная меняет свой знак, то x=1 есть абсцисса точки ) перегиба кривой.

Результаты исследований даны в таблице:

х	( )	-1	(-1; 1)	1	(1; 3)	3	(3; )
у	возрастает выпукла	max	убывает выпукла	перегиб	убывает вогнута	min	возрастает вогнута
	+	0	-	-	-	0	+
	-	-	-	0	+	+	+

График исследуемой функции приведен на рисунке: