Скалярное произведение векторов. Угол между векторами
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Особые случаи:
Если векторы и заданы своими координатами: и то скалярное произведение вычисляется по формуле Угол между векторами выражается следующим образом: В координатной форме Пример 3.
Найти угол между векторами и , если и Решение: Обозначим: . Ответ: Введение в теорию пределов функций
Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство . Обозначение: . Основные свойства пределов: Функция f(x) называется непрерывнойв данной точке a, если выполняется равенство Замечательные пределы: 1. – первый замечательный предел. 2. – второй замечательный предел. 3. – третий замечательный предел. Техника вычисления пределов
Пример 1. Найти . Решение. Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела: . Ответ: –8. Пример 2. Найти При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители: , и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0. Тогда . Ответ: 7. Пример 3. Найти . Решение: Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители: и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом . Ответ: ¥. Пример 4. Найти: . Решение: При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда . Поскольку , то . Ответ: 2. Пример 5. Найти: Решение. Непосредственно подстановкой имеем неопределенность . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби: . Тогда Ответ: 4. Пример 6. Найти: Решение: Найдем пределы, используя первый замечательный предел Таким образом: . Замечание: , так как если , то . Значит Ответ: Пример 7. Найти: . Решение: Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду , Если , то . Значит:
Ответ: . Дифференциальное исчисление По данной теме сначала изучите главу 6 §6.1-6.9 учебника [ 1] или главу 1 §1.1-1.11 учебника [ 2]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Производная функции Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
Справедливы следующие правила:
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Основные формулы дифференцирования:
Пример 1. Найти значение производной функции f(x) в точке , если . Решение. Функция f(x) представляет собой алгебраическую сумму двух функций: Следовательно: по правилу 2. Функция p(x) есть композиция логарифмической и тригонометрической функций, а значит, по правилу 5 Функция q(x) есть композиция степенной и тригонометрической функций, следовательно, по правилам 1, 5 Таким образом: при Ответ: . Пример 2. Найти значение производной функции f(x) в точке x0 = 2, если . Решение: Функция f(x) представляет собой произведение двух функций: . Следовательно, по правилу 3 . Согласно правилу 2, . Функция q(x) есть композиция функций: логарифмической и линейной, так как При преобразовании функции q(x) были использованы свойства степени и свойства логарифма. Таким образом: по правилам 1, 5. Найдем : . При x0 = 2 Ответ:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (828)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |