Алгоритм вычисления пределов последовательностей
1) Определить вид неопределённости. 2) Преобразовать выражение, стоящее под знаком предела, таким образом, чтобы к нему можно было применить свойства пределов сходящихся последовательностей. 3) Вычислить предел, используя свойства пределов сходящихся последовательностей и значения пределов некоторых выражений. Пример 1. Найти предел: . Решение. Пример 2. Найти предел: . Решение.
Пример 3.Найти предел: . Решение. Пример 4.Найти предел: . Решение. Применение предела в экономике Пусть первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Требуется найти размер вклада через лет. Если по данному вкладу начисляются простые проценты, то размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину . Следовательно, через год сумма вклада составит денежных единиц, через два года денежных единиц и т. д., через лет сумма вклада составит денежных единиц. При использовании сложных процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз , т.е. денежных единиц, через два года денежных единиц, и т. д., через лет сумма вклада составит денежных единиц. Если проценты по вкладу начисляются чаще, чем один раз в год (например, поквартально), то через лет сумма вклада составит денежных единиц. В общем случае, если – процент начисления и год разбит на частей, то через лет сумма вклада составит денежных единиц. Эта формула называется формулой сложных процентов. её можно использовать также в демографических расчётах (прирост народонаселения), в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта, инфляция и т. п.). Формулу сложных процентов можно преобразовать следующим образом: . При получаем последовательность , предел которой . Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам. В силу свойства 3 пределов сходящихся последовательностей, справедлива приближенная формула . Решение обратной задачи: нахождение первоначальной суммы вклада при известных: конечной сумме, процентной ставке и сроке вклада, – называют дисконтированием. В этом случае величину называют дисконтированным значением величины . Пример 5. Темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Решение. По формуле сложных процентов имеем: , где – первоначальная сумма, 182 – число дней в полугодии, . Используя приближенную формулу, получаем: . То есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.
Тема 2. Функции и их пределы Понятие функции Определение 1.Пусть даны два непустых числовых множества и . Если каждому элементу из множества по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция (или отображение) с множеством значений из множества . Множество называется областью определения функции (обозначается ). Множество называется областью значений функции. Определение 2.Пусть функция задана на множестве , а функция задана на множестве и имеет область значений . Тогда функция , заданная на множестве называется суперпозицией функций(сложной функцией). Определение 3.Функции ( ), ( , ), ( , ), , , , , , , , называются основными элементарными функциями. Свойства и графики основных элементарных функций приводятся в приложении 1. Определение 4.Функция, построенная из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня) и конечного числа суперпозиций, называется элементарной. Определение 5.Функция называется рациональной, если в ней над аргументом проводится конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень (обозначается ). Замечание.К рациональным функциям относятся: многочлен (полином, целая рациональная функция) степени с вещественными коэффициентами ( ) и дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов. Определение 6.Функция называется иррациональной, если в составе алгебраических операций над аргументом имеется извлечение корня. Определение 7.Рациональные и иррациональные функции называются алгебраическими. Определение 8.Функции ( , ), ( , ), , , , , , , , , а также составленные из них с помощью конечного числа алгебраических операций элементарные функции называются трансцендентными.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (823)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |