Работа внутренних сил упругой стержневой системы

Работа внешних сил на соответствующих им перемещениях может быть выражена и через внутренние силы, вызываемые ими. Выделим из стержня двумя сечениями, перпендикулярными к его оси, бесконечно малый элемент длиной dS,на который могут действовать следующие системы плоских сил: продольная N, поперечная Q и изгибающий момент М (рис.32, а). Если усилия N, Q и M по отношению к целому стержню являются внешними, вызывающими деформации элемента длиной dS, то по отношению к выделенному элементу они внутренние. Внутренние силы направлены в сторону, противоположную деформации, и сопротивляются ей, и поэтому суммарная работа внутренних сил будет отрицательной. Например, если стержень растянут (рис.32,б), то в сечениях а-б будут действовать две равные и противоположно направленные силы N. Одни из них будут растягивать элемент длиной dS, а другие, называемые внутренними, будут препятствовать деформации элемента dS. Рассмотрим отдельно влияния каждого из этих усилий на элемент длиной dS.

Под действием статического приложенного внешнего усилия N (рис.32,в), равномерно распределенного по сечению, удлинение элемента ds будет равно , где F – площадь поперечного сечения стержня. Поскольку сила нарастает постепенно от нуля до полного значения N, работа внутренних сил

(60)

При действии на элемент dS внешних изгибающих моментов М (рис.32, г), приложенных по торцам, оба сечения поворачиваются друг относительно друга на бесконечно малый угол . Так как и то . Под действием статически возрастающего момента M на этом угловом перемещении будет совершена работа внутренних сил

(61)

Элемент dS, находящийся под действием поперечных сил Q, показан на рис.32, д и е. На рис.32, д представлен суммарный линейный сдвиг соответствующих элементарных полосок на обоих торцах элемента dS. Суммарные линейное перемещение элементарных полосок составит , где b – ширина сечения элемента в исследуемом уровне; S – статический момент относительно нейтральной оси той части сечения, которая расположена выше выделенной полоски; J-момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Внутреннее усилие, соответствующее части поперечного сечения выделенного элемента на заштрихованной элементарной площадке (рис.32, е), равно . Работа бесконечно малой касательной силы τdF при ее постепенном возрастании на перемещении выразится произведением .Интегрируя в пределах всего поперечного сечения F, получил элементарную работу поперечных сил.

Для того чтобы получить полную работу внутренних сил, необходимо просуммировать элементарные работы в пределах всего стержня и по всем стержням плоской стержневой системы.

Получим следующее выражение для полной работы внутренних сил:

(62)

Поскольку работа внутренних сил А равна по абсолютной величине, но противоположна по знаку работе внешних сил W и потенциальной энергии деформации упругого тела U, то

W = – A = U (63)

Для плоской стержневой системы потенциальная энергия выражается следующей формулой: (64)