ЗАДАНИЕ 2. Аппроксимация функций
Цель работы: изучить правила составления программ на языке Си, реализующих основные алгоритмы аппроксимации .функций. Освоить методику построения и использования алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона
Краткие теоретические сведения Нахождение функции y=j(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) к некоторой исходной функции y=f(x)является одной из основных задач теории аппроксимации функций. Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f и j должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов). (обозначим их как вектор ), число которых равно количеству искомых параметров . Далее, параметры вектора подбирают такими, чтобы функция совпадала с f(x) в этих узлах, (2.1) Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время, является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров . Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются на ЭВМ. Из математического анализа известно, что в силу теоремы Вейерштрасса, любую функцию можно с какой угодно точностью приблизить многочленом. Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a,b]. Выберем на этом отрезке узлы интерполяции: . Предположим, что в узлах интерполяции значения функции известны: . (2.2) Ставится задача: найти алгебраический многочлен Pn-1(x) такой, что . (2.3) Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках. Общий вид алгебраического многочлена (2.4) Можно показать, что задача интерполяции посредством алгебраических многочленов имеет решение, причем единственное, Оценка погрешности интерполяции: , где . (2.5) Интерполяционный многочлен Лагранжа Многочлен Лагранжа имеет вид: где (2.6.)
Очевидно, что а ,(2.7) Линейная интерполяция
В общем случае для приближенного вычисления значения функции f в точке xТ находят в таблице ближайший к этой точке i-узел из общей таблицы, строят интерполяционный линейный многочлен вида: (2.8) и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция) Можно показать, что погрешность линейной интерполяции оценивается как: где h – расстояние между соседними точками.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (384)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |