Векторный базис на плоскости и в пространстве
В случае неколлинеарности двух векторов аи b любой третий вектор с, компланарный с, а и b, как следует из рисунка 16, можно однозначно представить в виде с= xa + yb, (1) где x, y Î R. Рисунок 16 Линейной комбинацией векторов а1, а2, …, аn называется вектор а = х1а1 + х2а2 + … + хnаn, (2) где х1, х2, …, хn – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Если вектор а представлен в виде линейной комбинации (2), то будем говорить, что а разложен по векторам а1, а2, …, аn. В частности, на основании равенства (1) мы можем сказать, что вектор сразложен по векторам aи b. Векторным базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара (е1; е2) неколлинеарных векторов этой плоскости. Можно заметить, что каждая плоскость содержит бесконечное мно- По аналогии с выводом, сделанным из рисунка 16, можно утверждать, что любой вектор а некоторой плоскости можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е1, е2 этой плоскости, т. е. а = хе1 + уе2. (3) Из этого следует вывод: если на плоскости выбран базис (е1; е2), то каждому вектору а этой плоскости ставится в соответствие един- Ортонормированным базисом называется такой базис (i; j), который удовлетворяет условиям: i^ j, | i| = | j| = 1, т. е. векторы i, j этого базиса единичны и взаимно перпендикулярны. В этом случае, если Два вектора а = (x1; y1), b = (x2; y2) образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.
Пример 1. Разложение вектора а= (–3; 7) по базису (i; j) имеет вид а= –3i+ 7j. Если же а = 2i – 3j, то координатами вектора а в базисе Чтобы найти координаты вектора , надо от координат конца В этого вектора вычесть координаты его начала А, т. е. если A(x1; y1), B(x2; y2), то =
Пример 2.Пусть А(3; –5), В(–2; 3), тогда = (–2 – 3; 3 – (–5)) =
Тест 1. Найти координаты вектора , если А(3; 4), В(5; 7): 1) (2; 4); 2) (2; 7); 3) (2; 3); 4) (3; 3); 5) (3; 3).
Пример 3. Пара векторов а = (1; 2), b = (–3; 5) образует базис на плоскости, так как определитель, составленный из координат, не равен 0: = 1 × 5 – 2 × (–3) = 11 0.
Тест 2. Определить, какие из следующих пар векторов не образуют базис на плоскости: 1) (3; 4), (2; 1); 2) (–2; 1), (2; 5); 3) (–4; 5), (1; 4); 4) (1; 2), (3; 6); 5) (7; 1), (2; 4). Векторным базисом пространства называется любая упорядоченная тройка (ℓ1, ℓ2, ℓ3) некомпланарных векторов этого пространства.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением a × b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем (4) где j – угол между векторами a и b.
Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.
Знак скалярного произведения определяется величиной j: если 0 £ j £ то a × b ³ 0, если же < j £ p, то a × b < 0. Скалярное произведение определяется только для двух векторов.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1992)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |