Векторный базис на плоскости и в пространстве

В случае неколлинеарности двух векторов аи b любой третий вектор с, компланарный с, а и b, как следует из рисунка 16, можно однозначно представить в виде

с= xa + yb, (1)

где x, y Î R.

Рисунок 16

Линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n называется вектор

а = х₁а₁ + х₂а₂ + … + х_nа_n, (2)

где х₁, х₂, …, х_n – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор а представлен в виде линейной комбинации (2), то будем говорить, что а разложен по векторам а₁, а₂, …, а_n. В частности, на основании равенства (1) мы можем сказать, что вектор сразложен по векторам aи b.

Векторным базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара (е₁; е₂) неколлинеарных векторов этой плоскости.

Можно заметить, что каждая плоскость содержит бесконечное мно-
жество базисов.

По аналогии с выводом, сделанным из рисунка 16, можно утверждать, что любой вектор а некоторой плоскости можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е₁, е₂ этой плоскости, т. е.

а = хе₁ + уе₂. (3)

Из этого следует вывод: если на плоскости выбран базис (е₁; е₂), то каждому вектору а этой плоскости ставится в соответствие един-
ственная упорядоченная пара действительных чисел х, y и, обратно, каждой упорядоченной паре чисел х, y поставлен в соответствие един-
ственный вектор а, который определяется равенством (3). При этом числа х, y мы будем называть координатами вектора а в базисе (е₁; е₂).

Ортонормированным базисом называется такой базис (i; j), который удовлетворяет условиям: i^ j, | i| = | j| = 1, т. е. векторы i, j этого базиса единичны и взаимно перпендикулярны. В этом случае, если
а = (х; y) в базисе (i; j), то а = хi + yj и наоборот. Числа х, y называются координатами вектора а в базисе (i; j).

Два вектора а = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂) образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Пример 1. Разложение вектора а= (–3; 7) по базису (i; j) имеет вид а= –3i+ 7j. Если же а = 2i – 3j, то координатами вектора а в базисе
(i; j) будут (2; –3).

Чтобы найти координаты вектора , надо от координат конца В этого вектора вычесть координаты его начала А, т. е. если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то =

Пример 2.Пусть А(3; –5), В(–2; 3), тогда = (–2 – 3; 3 – (–5)) =
= (–5; 8).

Тест 1. Найти координаты вектора , если А(3; 4), В(5; 7):

1) (2; 4);

2) (2; 7);

3) (2; 3);

4) (3; 3);

5) (3; 3).

Пример 3. Пара векторов а = (1; 2), b = (–3; 5) образует базис на плоскости, так как определитель, составленный из координат, не равен 0: = 1 × 5 – 2 × (–3) = 11 0.

Тест 2. Определить, какие из следующих пар векторов не образуют базис на плоскости:

1) (3; 4), (2; 1);

2) (–2; 1), (2; 5);

3) (–4; 5), (1; 4);

4) (1; 2), (3; 6);

5) (7; 1), (2; 4).

Векторным базисом пространства называется любая упорядоченная тройка (ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃) некомпланарных векторов этого пространства.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a × b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

(4)

где j – угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.

Знак скалярного произведения определяется величиной j:

если 0 £ j £ то a × b ³ 0,

если же < j £ p, то a × b < 0.

Скалярное произведение определяется только для двух векторов.