Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Точки разрыва функции и их классификация



2015-12-07 930 Обсуждений (0)
Точки разрыва функции и их классификация 0.00 из 5.00 0 оценок




 

Если условия непрерывности функции в точке x0 не выполнены,
т. е. в точке x0 существует конечный предел, не равный значению функции в этой точке, либо равный бесконечности, либо вообще не существует, то говорят, что функция имеет разрыв в этой точке.

Различают точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Если функция в точке x0 имеет конечные пределы слева и справа, из которых хотя бы один не равен f(x0), то точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), а величина скачком функции в точке x0. Если при этом то точка x0 называется устранимой точкой разрыва функции f(x), так как, заменяя ее значение x0 в точке x0 общим значением получим непрерывную функцию.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

 

Пример 4. Функция f(x)= при x ≠ 0 непрерывна как отношение двух непрерывных функций. Полагая f(0) = 1 в соответствии с пределом получим функцию f(x)= непрерывную и в точке x = 0.

 

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию f(x)=

Решение

Функция элементарная, определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел, за исключением точки x = 2. В этой точке функция имеет разрыв. Найдем предел = отсюда f(2 + 0) = f(2 – 0) = 4.

Таким образом, в точке x = 2 функция имеет устранимый разрыв 9 (рисунок 28). Если эту функцию доопределить в точке x = 2, положив f(2) = 4, то она будет непрерывной на всей числовой прямой. В этом случае говорят, что функцию f(x) доопределили по непрерывности в точке x = 2.

 
 


Рисунок 28

 

Пример 6.Исследовать на непрерывность функцию

f(x) =

Решение

Функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0 с обеих сторон, так как

 

Тест 7. Функция f(x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

 

Тест 8. Функция f(x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

 

Тест 9. Функция f(x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

 

Тест 10. Функция f(x) = в точке x = 2:

1) имеет устранимый разрыв первого рода;

2) имеет разрыв первого рода;

3) имеет разрыв второго рода;

4) является непрерывной.

 

Тест 11. Функция f(x) = в точке x = 0:

1) имеет устранимый разрыв первого рода;

2) имеет устранимый разрыв второго рода;

3) имеет разрыв второго рода;

4) является непрерывной.

 

Рассмотрим свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то их алгебраическая сумма f(x) + g(x), произведение f(x) × g(x) и частное f(x) / g(x) (при условии g(x) 0) являются функциями, непрерывными в точке х0.

2. Если функция y = f(x) непрерывна в точке х0 и f(х0) > 0, то существует такая окрестность точки х0, в которой f(x) > 0.

3. Если функция y = f(u) непрерывна в точке u0, а функция u = j(x) – в точке х0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке х0.

Функция y = f(x) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка (a < x < b) и

Рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2. Теорема Вейерштрасса: если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

3. Теорема Больцано-Коши: если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения противоположных знаков, то для некоторого

 

Тест 12. Функция f(x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–2; 2];

4) [1; 10];

5) имеет разрыв на каждом из указанных отрезков.

 

Тест 13. Функция f(x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–1; 0];

4) [1; 10].

 

Тест 14. Функция f(x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [2; 5];

3) [–2; 0];

4) [–10; 10].

 

Тест 15. Функция f(x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–5; 5];

4) [5; 9].

Ответы на тестовые задания

 

Номер теста
Правильный ответ

 

Номер теста
Правильный ответ

 

 



2015-12-07 930 Обсуждений (0)
Точки разрыва функции и их классификация 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Точки разрыва функции и их классификация

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (930)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)