Непрерывные функции одной переменной
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 и f(x) = f(x0). Это определение содержит следующие четыре условия непрерывности: 1) y = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x0; 2) должны существовать конечные пределы f(x0 + 0) = f(x) и f(x0 – 0) = f(x) (пределы справа и слева − односторонние пределы); 3) односторонние пределы должны быть одинаковыми; 4) эти пределы должны быть равны f(x0). Если не выполняется хотя бы одно из условий 1–4, то функция имеет разрыв в точке x0. Функция непрерывна в точке x0 справа, если выполняется условие = В противном случае функция имеет разрыв в точке справа. Функция непрерывна в точке слева, если имеет место равенство = В противном случае функция имеет разрыв в точке слева. Из условий 2–4 следует, что если функция непрерывна в точке x0, то она непрерывна в этой же точке справа и слева.
Критерий непрерывности функции
Функция y = f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции =
Пример 1.Доказать, что функция f(x) = x2 – 1 непрерывна в точке x = 4. Доказательство. Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15. Вычислим предел: – = 16 – 1 = 15. Получили, что предел функции в точке x = 4 равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.
Пример 2. Доказать, что функция f(x) = непрерывна в точке x = 0. Доказательство. По условию f(0) = 0. Произведение x sin при
Получили, что т. е. данная функция непрерывна в точке x = 0.
Пример 3. Доказать, что функция f(x)= имеет разрыв в точке x = 1. Доказательство. Значение функции в точке x = 1 есть f(1) = 1.
Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1: = = Получили, что в точке x = 1 предел слева не равен пределу справа, т. е. в этой точке предела не существует и функция при x = 1 имеет разрыв (рисунок 27).
Рисунок 27
Тест 1. Функция f(x)= 1) имеет одну точку разрыва; 2) имеет две точки разрыва; 3) является непрерывной.
Тест 2. Функция f(x)= 1) имеет одну точку разрыва; 2) имеет две точки разрыва; 3) является непрерывной.
Тест 3. Точкой разрыва функции f(x)= является: 1) 1; 2) 2; 3) –1; 4) –2.
Тест 4.Точками разрыва функции f(x)= являются: 1) 4, 3; 2) 16, 9; 3) 4, –4; 4) 3, –3.
Тест 5. Точкой разрыва функции f(x) = является: 1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) нет точек разрыва.
Тест 6. Точкой разрыва функции f(x)= является: 1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) нет точек разрыва.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (770)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |