Непрерывные функции одной переменной

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ и f(x) = f(x₀).

Это определение содержит следующие четыре условия непрерывности:

1) y = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x₀;

2) должны существовать конечные пределы f(x₀ + 0) = f(x) и f(x₀ – 0) = f(x) (пределы справа и слева − односторонние пределы);

3) односторонние пределы должны быть одинаковыми;

4) эти пределы должны быть равны f(x₀).

Если не выполняется хотя бы одно из условий 1–4, то функция имеет разрыв в точке x₀.

Функция непрерывна в точке x₀ справа, если выполняется условие

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке справа.

Функция непрерывна в точке слева, если имеет место равенство

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке слева.

Из условий 2–4 следует, что если функция непрерывна в точке x₀, то она непрерывна в этой же точке справа и слева.

Критерий непрерывности функции

Функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

=

Пример 1.Доказать, что функция f(x) = x² – 1 непрерывна в точке x = 4.

Доказательство. Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.

Вычислим предел:

– = 16 – 1 = 15.

Получили, что предел функции в точке x = 4 равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.

Пример 2. Доказать, что функция f(x) = непрерывна в точке x = 0.

Доказательство. По условию f(0) = 0. Произведение x sin при
x ® 0 есть бесконечно малая величина как произведение бесконечно малой x на ограниченную величину sin Предел бесконечно малой равен нулю, следовательно,

Получили, что т. е. данная функция непрерывна в точке x = 0.

Пример 3. Доказать, что функция f(x)= имеет разрыв в точке x = 1.

Доказательство. Значение функции в точке x = 1 есть f(1) = 1.

Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1:

=

=

Получили, что в точке x = 1 предел слева не равен пределу справа, т. е. в этой точке предела не существует и функция при x = 1 имеет разрыв (рисунок 27).

Рисунок 27

Тест 1. Функция f(x)=

1) имеет одну точку разрыва;

2) имеет две точки разрыва;

3) является непрерывной.

Тест 2. Функция f(x)=

1) имеет одну точку разрыва;

2) имеет две точки разрыва;

3) является непрерывной.

Тест 3. Точкой разрыва функции f(x)= является:

1) 1;

2) 2;

3) –1;

4) –2.

Тест 4.Точками разрыва функции f(x)= являются:

1) 4, 3;

2) 16, 9;

3) 4, –4;

4) 3, –3.

Тест 5. Точкой разрыва функции f(x) = является:

1) 1;

2) 2;

3) 0;

4) нет точек разрыва.

Тест 6. Точкой разрыва функции f(x)= является:

1) 5;

2) 2;

3) 3;

4) нет точек разрыва.