Системы линейных уравнений и неравенств
Системой m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, ¼, xn называется система вида (1) где аij и bi – действительные числа (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы (1). Матрица А = составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1). Матрица-столбец В = составленная из свободных членов уравнений системы (1), называется столбцом свободных членов системы (1). Матрица системы (1), дополненная столбцом свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы (1): АВ =
Пример 1. Для системы линейных уравнений матрица системы – А = расширенная матрица системы – АВ =
Тест 1. Для системы линейных уравнений матрица системы имеет вид: 1) А = 2) А = 3) А = 4) А = 5) А =
Тест 2. Для системы линейных уравнений расширенная матрица системы имеет вид: 1) АB = 2) АB = 3) АB = 4) АB = 5) АB =
Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность n чисел (l1; l2; ¼; ln), при подстановке которых вместо
Пример 2. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 3) решением системы линейных уравнений Решение Подставим в каждое уравнение данной системы вместо х1 первое число из данной упорядоченной совокупности, а вместо х2 – второе. Первое и второе уравнения обратятся в верные равенства 1 + 3 = 4, 2 × 1 – 3 = –1. А третье уравнение – нет: –1 + 3 ¹ 1. Следовательно, упорядоченная совокупность чисел (1; 3) не является решением данной системы линейных уравнений. Ответ: нет.
Тест 3. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 2; 3) решением системы линейных уравнений 1) да; 2) нет.
Тест 4. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (0; –1) решением системы линейных уравнений 1) да; 2) нет.
Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.
Теорема (правило Крамера). Пусть Δ – определитель матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn. Если Δ ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам х1 = ; х2 = ; …; хn = , где – определитель, полученный из определителя Δ заменой в нем j-го столбца столбцом свободных членов системы.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: 1) 2) 3) Решение 1. Уравнений в системе – 2, а неизвестных – 3. Так как правило Крамера применимо только для систем, у которых число уравнений и число неизвестных совпадают, то данную систему решить по правилу Крамера нельзя. Ответ: правило Крамера неприменимо. 2. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ = Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = = 2 – 2 = 0. Так как Δ = 0, то решить данную систему по правилу Крамера нельзя. Ответ: правило Крамера неприменимо. 3. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ = Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = 1 × (–1) – 2 × 3 = –1 – 6 = –7 ¹ 0. Итак, нам дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и Δ ¹ 0. Значит, к данной системе правило Крамера применимо. Применим его. Так как по правилу Крамера х1 = х2 = найдем значения Δ1 и Δ2. Определитель Δ1 получается из определителя Δ заменой в нем 1-го столбца столбцом свободных членов системы. Столбец – столбец свободных членов системы. Следовательно, Δ1 = = = 1 – 8 = –7. Определитель Δ2 получается из определителя Δ заменой в нем 2-го столбца столбцом свободных членов системы. Следовательно, Δ2 = = = 4 + 3 = 7. Тогда: х1 = = х2 = = Ответ: (1; –1).
Тест 5. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ имеет вид: 1) 2) 3) 4) 5)
Тест 6. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ1 имеет вид: 1) 2) 3) 4) 5)
Тест 7. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ2 имеет вид: 1) 2) 3) 4) 5)
Тест 8. При решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными х1 и х2 по правилу Крамера получены значения: Δ = 4, Δ1 = 8, Δ2 = 2. Система имеет решение: 1) (8; 2); 2) ( ; 2); 3) (4; 8; 2); 4) (8; 2; 4); 5) (2; ).
Тест 9.Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: 1) (2; –1); 2) правило Крамера неприменимо; 3) (1; 2); 4) (2; 1); 5) (1; 1).
Тест 10. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: 1) (2; –1); 2) правило Крамера неприменимо; 3) (1; 2); 4) (2; 1); 5) (1; 1).
Тест 11. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: 1) (1; 1; 1); 2) (0; 1; 1); 3) (0; 0; 1); 4) (1; 0; 1); 5) правило Крамера неприменимо.
Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.
Тест 12. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид Решением исходной системы является: 1) (0; 1); 2) (1; 2); 3) (2; 1); 4) (1; 1); 5) (–1; 0).
Тест 13. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид Решением исходной системы является: 1) (4; 9); 2) (4; 1); 3) (1; 4); 4) (9; 4); 5) (9; 1).
Линейным неравенством с двумя неизвестными х, у называется неравенство вида: ax + by + c £ 0 или ax + by + c £ 0, где a, b, c – действительные числа. Решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется всякая упорядоченная пара действительных чисел (l1; l2), в результате подстановки которых вместо х, у соответственно неравен- С геометрической точки зрения пару действительных чисел (l1; l2), являющуюся решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у, можно рассматривать как координаты точки плоскости Оху. Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.
Теорема. Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у вида ax + by + c ³ 0 служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость Оху делит прямая ax + by + c = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является областью решений неравенства ax + by + c £ 0.
Пример 4. Построить область решений неравенства х + у + 2 ³ 0. Решение х + у + 2 ³ 0 1. На плоскости Оху построим прямую х + у + 2 = 0 по двум точкам (рисунок 19): если х = 0, то у = –2, имеем точку (0; –2); если х = 2, то 2. Возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой х + у + 2 = 0. Применяя теорему, имеем: 1) если координаты взятой точки удовлетворяют неравенству х + у + 2) если координаты взятой точки не удовлетворяют неравенству
у 02 х
–2
–4 х + у + 2 = 0
Рисунок 19 Возьмем, например, точку (0; 0). Подставим ее координаты в неравенство х + у + 2 > 0. Получим 0 + 0 +2 > 0 или 2 > 0 – верное неравенство. Следовательно, искомой будет полуплоскость, содержащая точку (0; 0).
Теорема. Область решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными есть пересечение (общая часть) полуплоскостей, каждая из которых есть область решения соответствующего неравенства системы.
Тест 14.Решением неравенства является полуплоскость:
1) 2)
3) 4) 5)
Тест 15.Решением неравенства х ³ 0 является полуплоскость:
1) 2) 3)
4) 5)
Тест 16. Решением системы линейных неравенств является часть плоскости:
1) 2) 3)
4) 5)
Ответы на тестовые задания
Комплексные числа
Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i2 = –1. Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С. Для комплексного числа z = a +bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.
Пример 1. Для комплексного числа z определить Rez и Imz: а) z = 2 + 5i; б) z = 1 – 3i; в) z = 2; г) z = 5i; д) z = i. Решение а) Rez = 2, Imz = 5; б) так как z = 1 – 3i = 1 + (–3)i, то Rez = 1, Imz = –3; в) так как z = 2 = 2 + 0i, то Rez = 2, Imz = 0; г) так как z = 5i = 0 + 5i, то Rez = 0, Imz = 5; д) так как z = i = 0 + 1i, то Rez = 0, Imz = 1.
Тест 1. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 5 + 4i равна: 1) 9; 2) 5; 3) 4; 4) (–4); 5) 1. Тест 2. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 7 – i равна: 1) 7; 2) 1; 3) 0; 4) (–1); 5) (–7).
Тест 3. Действительная часть Rez комплексного числа z = –4i равна: 1) –4; 2) 0; 3) 4; 4) 1; 5) (–1).
Два комплексных числа z1 = а1 + b1i и z2 = а2 + b2i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а1 = а2, b1 = b2. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.
Пример 2. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z1 = 2 + 3i; z2 = 2 + 5i; z3 = 1 + 3i; z4 = –1 + 3i; z5 = 2 + 3i. Решение Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные действительные части: z1, z2, z5. Так как при этом Imz1 = Ответ: z1 = z5.
Тест 4. Даны комплексные числа: z1 = 2 + 3i; z2 = 4 – i; z3 = 3 + 2i; z4 = –4 + i; z5 = 4 + i; z6 = 4 – i; z7 = 2 – 3i; z8 = 4 – i; z9 = 3 – 2i. Среди них равными являются: 1) z1 = z3 = z7 = z9; 2) z7 = z9; 3) z2 = z5 = z6 = z8; 4) z2 = z4; 5) z2 = z6 = z8.
Два комплексных числа z = а + bi и = а – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Пример 3. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 7 – i. Решение Сопряженным к данному комплексному числу будет комплексное число = 7 + i. Ответ: = 7 + i.
Тест 5. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 2 + 3i: 1) = 2 – 3i; 2) = –2 – 3i; 3) = –2 – 3i; 4) = 2 + 3i; 5) = 3 + 2i.
Тест 6. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 3i: 1) = 3i; 2) = 0; 3) = –3i; 4) = 1; 5) = –1.
Запись числа z в виде z = а + bi называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Если z1 = а + bi, z2 = с + di, то z1 + z2 = (а + bi) + (с + di) = а + bi + с + di = (а + с) + (b + d)i; (1) z1 – z2 = (а + bi) – (с + di) = а + bi – с – di = (а – с) + (b – d)i. (2)
Пример 4. Даны два комплексных числа z1 = 2 + i и z2 = 4 – 3i. Найти их сумму и разность. Решение В соответствии с формулами (1), (2) при а = 2, b = 1, с = 4, d = –3 получаем z1 + z2 = (2 + i) + (4 – 3i) = 2 + i + 4 – 3i = (2 + 4) + (1 – 3)i = 6 – 2i; z1 – z2 = (2 + i) – (4 – 3i) = 2 + i – 4 + 3i = (2 – 4) + (1 + 3)i = –2 + 4i. Ответ: 6 – 2i; –2 + 4i.
Тест 7. Сумма комплексных чисел z1 = 1 + i и z2 = 2 – 2i равна: 1) 4 – i; 2) 3 – i; 3) 5 + i; 4) 5; 5) 3 + i.
Тест 8.Разность комплексных чисел z1 = 3 + i и z2 = 4 – 2i равна: 1) –1 – i; 2) 1+ i; 3) 1 – 3i; 4) –1 + 3i; 5) 1 – i.
Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат Оxy. Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой М(a; b) на плоскости Оxy такой, что а = Rez, b = Imz. И, наоборот, каждую точку М(a; b) координатной плоскости Оxy можно рассматривать как образ комплексного числа z = a + bi (рисунок 20).
Рисунок 20
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.
Пример 5.На комплексной плоскости изобразить число z = 2 – 3i. Решение Для данного комплексного числа а = Rez = 2, b = Imz = –3. На координатной плоскости Оxy (рисунок 21) число z = 2 – 3i изображается точкой М(2; –3). Рисунок 21
Комплексное число z = а + bi, заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде. Изобразим число z точкой М(а; b) комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рисунок 22).
Рисунок 22
Тест 9. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –5 + 2i:
1) 2) 3)
4) 5)
Тест 10. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –2i:
1) 2) 3)
4) 5)
Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора точки М(а; b), изображающей данное число. Обозначение: или r. Из прямоугольного треугольника ОМа (рисунок 22) по теореме Пифагора Следовательно, или
Пример 6. Найти модуль комплексного числа z = 1 – 3i. Решение Для данного комплексного числа а = 1, b = –3. Следовательно, = = Ответ: .
Тест 11. Модуль комплексного числа z = 4 + 3i равен: 1) 25; 2) 5; 3) 7; 4) 49; 5) 24.
Тест 12. Модуль комплексного числа z = –i равен: 1) –1; 2) 0; 3) 1; 4) 2; 5) 5.
Тест 13. Модуль комплексного числа z = 4 равен: 1) –1; 2) 0; 3) 1; 4) 4; 5) 2.
Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ. Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π). Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz + С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφi или z = r (cosφ + i sinφ), где r = (3) cosφ = , sin φ = . (4) Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Пример 7. Представить комплексное число z = –1 + i в тригонометрической форме. Решение z = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа z, при этом а = Так как cosφ = sinφ = и φ Î [0; 2π), то φ = Следовательно, тригонометрическая форма данного числа z имеет вид z = Ответ: z =
Тест 14. Тригонометрическая форма комплексного числа z = 1) 2) 3) 4) 5)
Тест 15. Тригонометрическая форма комплексного числа z = –1 имеет вид: 1) 2) 3) 4) 5)
Два комплексных числа z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cosφ2 + i sin φ2), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z1 = z2 Û r1 = r2, φ1 = φ2 + 2 πk, k Î Z.
Пример 8. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z1 = z2 = z3 = z4 = Решение Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные модули: z1, z3, z4.Так как φ1 = φ3 = Ответ: z1 = z3.
Тест 16. Даны комплексные числа z1 = z2 = 1) z1 = z2; 2) z1 = z3; 3) z1 = z4; 4) z2 = z3; 5) z3 = z4.
Формула Эйлера имеет следующий вид: (5) Данная формула может быть записана в виде (6) Из формул (5) и (6) следует сos . Используя формулу (5), комплексное число z = r(cosφ + i sinφ) можно записать в виде z = rеiφ, называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.
Пример 9. Представить комплексное число z = i sin в показательной форме. Решение z = + i sin – тригонометрическая форма комплексного числа z, при этом r = , φ = Поэтому показательная форма данного числа z имеет вид z = e Ответ: z = e
Тест 17. Показательная форма комплексного числа z = 2 + 1) 2) 3) 4) 5)
Тест 18.Показательная форма комплексного числа z = –1 + i имеет вид: 1) 2) 3) 4) 5)
Ответы на тестовые задания
Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (839)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |