Матричный способ решения системы линейных уравнений

- проверяем det A НЕ РАВЕН 0

- находим элементы обратной матрицы (А^-1)

- Х = А^-1 * В(свободные члены)

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Рангом матрицы называется наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Более подробное определение: число r называется рангом матрицы, если оно удовлетворяет условиям:

- в матрице А имеется минор r-го порядка, отличный от нуля

- все миноры (r+1)-го порядка и выше, если они существуют, равны 0.

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: rang A = rang A*

Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений.

- записываем расширенную матрицу

- применяем элементарные преобразования

- rang A = rang A* - значит система совместима и имеет решение

- rang A = n - значит система определенная и имеет единственное решение

- выполняем проверку, подставляя полученные корни в исходную систему

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0.

Равенство, коллинеарность векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Векторы называются равными если: 1) они коллинеарны 2) сонаправлены 3) их модули равны

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов, умножения вектора на число. (правило треугольника, параллелограмма, многоугольника).

Свойства линейных операций над векторами:

Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

Углом между векторами а и b называется наименьший угол ФИ (0<=ФИ<=ПИ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Обозначение: (a,b)(с домиком наверху).

Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью: пр.АВ = |АВ| cos(альфа)

Линейная зависимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Теоремы о разложении по базису.

Базисом линейного пространства называется система из максимального количества линейно независимых векторов этого пространства.

Базисом на плоскости являются два линейно независимых вектора, а в пространстве - три линейно независимых вектора.

Любой вектор можно разложить по базису, причем единственным образом.

Декартова система координат. Нахождение координат векторов при линейных операциях.

Длина вектора, направляющие косинусы вектора. Деление отрезка в заданном отношении.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие ортогональности векторов. Скалярное произведение в координатах.