Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов а,b,с называется число, которое обозначается символом ахb-с (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным). Если векторы а,b,с некомпланарны, то смешанное произведение а´b-с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с, взятому со знаком "+", если упорядоченная тройка векторов а,b,с-правая, и со знаком "-", если эта тройка - левая. Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие: 1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (aх b)× с = (сха)× b = (bхс)× а; 2)если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т.е. (aх b)× с = -(ахс)× b ; 3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение векторов в декартовом базисе {i,j,k}.Если а(ax, ay, az), b(bx, by, bz,) и с(сx, cy, cz), то Наиболее распространенные задачи, решаемые при помощи смешанного произведения: 1)найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с: V = |а х b× с|, 2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах а,b,с: V=1/6 (|а х b× с|) 3) проверить компланарны ли векторы а,b,с, если а х b× с=0, то векторы компланарны, если а х b× с¹ 0, то векторы некомпланарны; 4)проверить правую или левую тройку образуют векторы а,b,с,
>0 -тройка векторов - правая , а х b× с=. <0 - тройка векторов левая. Замечание: смешанное произведение векторов а,b,с, как правило, записывают в виде а× b× с . Пример 1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, проведенную из вершины D к основанию АВС, если вершины тетраэдра имеют координаты: А (1,2,0), B(2,1,1), С(0,-3,-1), D(3,3,4). Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А: АВ(1,-1,1), AC(-1,-5,-1), AD(2,1,4), Vтетр=1/6(|АВ×АС×AD|); Vтетр=1/3(SDABC×HD); SDABC=1/2 (|AB´AC|); HD= . Отсюда Вопросы для самопроверки:
1.Сформулируйте правила треугольника и параллелограма сложения векторов. 2.Укажите принципиальное различие в формулах для вычисления длины вектора в произвольном и декартовом базисах. З. Чему равно скалярное произведение базисных векторов в декартовом базисе? 4.Чему равно векторное произведение базисных векторов в декартовом базисе? 5.Запишите условие компланарности векторов. Приведите пример. 6.Можно ли построить треугольник на векторах а,b,а+b ? 7.Приведите пример условия, при выполнении которого из трех векторов a, b,с можно образовать треугольник. 8. Докажите, что объем тетраэдра вычисляется по формуле V= | а× b× с| 9. Вычислите угол между векторами, совпадающими со скрещивающимися ребрами тетраэдра. 10.Как Вы считаете, произведение векторов axbxc (двойное векторное) является векторной величиной или скалярной?
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (918)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |