Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему

. (1.1.9)

У этой системы коэффициент a₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x₁ не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a₁₁¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

. (1.1.10)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде матрицы

. (1.1.11)

Матрица (1.1.11) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе (1.1.10) соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a₃₃ ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

.

Полученная матрица соответствует системе

. (1.1.12)

Из последнего уравнения этой системы получаем x₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x₂ = 1, а из первого — x₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x₄, затем x₃ и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрицаAпереводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (1.1.12) – треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Пример 1.1.11. Решить систему

x₁+7x₂+3x₃+2x₄=6

2x₁+5x₂+2x₃+3x₄=4

7x₁+4x₂+x₃+9x₄=2

В этой системеm=3 - количество уравнений; n=4 -количество неиз­вестных.

Запишем расширенную матрицу системы А и преобразуем ее к сту­пенчатому виду

_

RgA=2, rgA=2. По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ совместна. Укороченная СЛАУ имеет вид:

x₁+7x₂+3x₃+2x₄=6

9x₂+4x₃+x₄=8

В качестве базисных неизвестных выберем неизвестные х₁ и x₂, а не­известные, x₃, x₄ примем за свободные, полагая x₃=C₁, x₄=C₂. Тогда СЛАУ может быть записана в виде

x₁+7x₂=6-3C₁-2C₂

9x₂=8-4C₁-C₂

x₃=C₁

x₄=C₂

Откуда находим

или окончательно получим

Пример 1.1.12. Решить систему

x₁+2x₂-3x₃+x₄=-4

2x₁-x₂+x_3-x₄=2

-x₁+3x₂-x₃+3x₄=0

2x₁+4x₂-3x₃ +2x₄=3

Система линейных алгебраических уравнений несовместна.

Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т.к. ранги расширен­ной матрицы системы и матрицы системы совпадают.

Вопросы для самопроверки

1. Какие матрицы называются равными?

2. В каких случаях возможно перемножение двух матриц?

3. В каких случаях существуют произведения как АВ так и ВА?

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов матрицы? В чем отличие между ними?

5. Сформулируйте правило Крамера.

6. Как осуществляется транспонирование матрицы?

7. В чем суть метода элементарных преобразований получения обрат­ной матрицы?

8. Что такое ранг матрицы?

9. Что такое основная и расширенная матрицы системы?

10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера-Капелли.