Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка
Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть преобразование поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в различных системах координат. Рис.1.4.1 Рис.1.4.2 Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая ОХУ и новая О1Х1У1 (рис . 1. 4 .1) . Начало новой системы координат находится в точке O1(а,в) . Старые координаты х, у точки М через новые координаты x1y1 выражаются формулами x=x1 +a, y=y1+b (1.4.1) откуда х1 =х-а, y1 =y- b, (1.4.2) Поворот координатных осей. Новая система координат OX1Y1 получена поворотом старой на угол α вокруг точки О (рис.1.4.2).Старые координаты х, у точки М через новые координаты x1, y1 выражаются формулами x=x1cosα - y1sinα y=x1sinα + y1cosα (1.4.3) В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота осей координат, связь между старыми и новыми координатами имеет вид: x=x1cosα - y1sinα+a; y=x1sinα + y1cosα+b (1.4.4) Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка a11х2 + 2а12 ху + а22 у2 + c1x + с2 у + d = 0, (1.4.5) путем преобразования системы координат (параллельный перенос, поворот) приводить к простейшему (каноническому) уравнению. В новой системе координат уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следующих канонических уравнений:
Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей координат на угол α преобразуется в уравнение a΄11х12 + а΄22 у12 + c΄1x1 + с΄2 у1 + d΄ = 0 (1.4.7)
формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол α определяется по формуле Пример 1.4.1.Кривая второго порядка задана уравнением Зх2 +4xy-4x-8y= 0 Записать каноническое уравнение этой линии. В данном случае а11 = 3, 2а12 = 4, a22 = 0 . По формуле (1.4.8) находим ctg2α=3/4 > 0 . Следовательно, Построим гиперболу в новой системе координат O1Х2У2. Вначале вычислим старые координаты точки O1 в которой находится центр гиперболы.
Рис.1.4.3 Для этой точки х2 = 0; у2 = 0.По формулам (1.4.1) находим Вопросы для самопроверки
1.Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы. 2.Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго порядка. 3. Какие линии определяют уравнения 9х2 ± 4у2= 36 . Вычислите параметры кривых. 4.Получите уравнения асимптот гиперболы. 5.Чему равен эксцентриситет для окружности? 6.Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1135)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |