Доверительный интервал дисперсии нормального распределения

Пусть случайная величина x распределена по нормальному закону, для которого дисперсия Dx неизвестна. Делается выборка объема n . Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия s². Случайная величина

(10.2.8)

распределена по закону c² c n –1 степенями свободы. По заданной надежности g можно найти сколько угодно границ c₁² и c₂² интервалов, таких, что

(10.2.9)

Найдем c₁² и c₂² из следующих условий:

P(c² £ c₁²) = (1 – g )/ 2 (10.2.10)

P(c² ³ c₂²) = (1 – g )/ 2 (10.2.11)

Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо равенство (10.2.9).

В таблицах для случайной величины c² обычно дается решение уравнения P(c² ³c_q²) = q . Из такой таблицы по заданной величине q и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение c_q². Таким образом, сразу находится значение c₂² в формуле (10.2.11).

Для определения c₁² преобразуем (10.2.10):

P(c² ³ c₁²) = 1 – (1 – g )/ 2 = (1 + g )/ 2

Полученное равенство позволяет определить по таблице значение c₁².

Теперь, когда найдены значения c₁² и c₂², представим равенство (10.2.9) в виде

.

Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала для неизвестной
величины Dx:

.

Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения:

(10.2.12)

Задача. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибелах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%.

Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения c²величину
c₂² = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем c₁² = 7,63. Используя формулу (10.2.12), получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49).

Тема 10.3. Задачи статистической проверки гипотез

Основные понятия и статистическая проверка гипотез

Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Методы математической статистики позволяют проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например Mx, Dx ), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.

Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.

Гипотезы о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений называются параметрическими гипотезами.

Гипотезы о виде распределения называются непарамет­рическими гипотезами.

Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Проверка осуществляется с помощью статистического критерия. Статистический критерий – это случайная величина, закон распределения которой (вместе со значениями параметров) известен в случае, если принятая гипотеза справедлива. Этот критерий называют еще критерием согласия (имеется в виду согласие принятой гипотезы с результатами, полученными из выборки).

Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой гипотезойи обозначают H₀. Вместе с гипотезой H₀ выдвигается альтернативная или конкурирующаягипотеза, которая обозначается H₁. Например:

Пусть случайная величина K – статистический критерий проверки некоторой гипотезы H₀. При справедливости гипотезы H₀ закон распределения случайной величины K характеризуется некоторой известной нам плотностью распределения p_K(x).

Выберем некоторую малую вероятность a, равную 0,05 , 0,01 или еще меньшую. Определим критическое значение критерия K_кр как решение одного из трех уравнений, в зависимости от вида нулевой и конкурирующей гипотез:

P(K> K_кр) = a (10.3.1)

P(K< K_кр) = a (10.3.2)

P((K< K_кр1)Ç(K> K_кр2)) = a (10.3.3)

Возможны и другие уравнения, но они встречаются значительно реже, чем приведенные.

Решение уравнения (10.3.1) (то же самое для уравнений (10.3.2) и (10.3.3)) заключается в следующем: по вероятности a, зная функцию p_K(x), заданную как правило таблицей, нужно определить K_кр.

Что означает условие (10.3.1)?

Если гипотеза H₀ справедлива, то вероятность того, что критерий K превзойдет некоторое значение K_кр очень мала – 0,05 , 0,01 или еще меньше, в зависимости от нашего выбора. Если K_в – значение критерия K, рассчитанное по выборочным данным, превзошло значение K_кр, это означает, что выборочные данные не дают основания для принятия нулевой гипотезы H₀ ( например, если a=0,01 , то можно сказать, что произошло событие, которое при справедливости гипотезы H₀ встречается в среднем не чаще, чем в одной из ста выборок). В этом случае говорят, что гипотеза H₀ не согласуется с выборочными данными и должна быть отвергнута. Если K_в не превосходит K_кр, то говорят, что выборочные данные не противоречат гипотезе H₀, и нет оснований отвергать эту гипотезу.

Для уравнения (10.3.1) область K> K_кр называется критической областью. Если значение K_в попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается.

Для уравнения (10.3.1) область K < K_кр называется областью принятия гипотезы. Если значение K_в попадает в область принятия гипотезы, то гипотеза H₀ принимается.

Рисунок 1. иллюстрирует решение уравнения (10.3.1). Здесь p_K(x) – известная плотность распределения случайной величины K при условии справедливости гипотезы H₀.

Пусть выбрано некоторое малое значение вероятности a, по нему определено значение K_кр и по выборочным данным определено значение K_в, которое попало в критическую область. В этом случае гипотеза H₀ отвергается, но она может оказаться справедливой, просто случайно произошло событие, которое имеет очень малую вероятность a. В этом смысле a есть вероятность отвержения правильной гипотезы H₀.

Отвержение правильной гипотезы называется ошибкой первого рода. Вероятность a называется уровнем значимости. Таким образом уровень значимости – это вероятность совершения ошибки первого рода.

Критическая область, полученная для уравнения (10.3.1) и приведенная на рисунке 1., называется правосторонней.

Уравнение (10.3.2) определяет левосторонюю критическую область. Ее изображение приводится на рисунке 2.

Отметим, что каждая из заштрихованных фигур на рисунках 1 и 2 имеет площадь, равную a.

Уравнение (10.3.3) определяет двусторонюю критическую область. Такая область изображена на рисунке 3. Здесь критическая область состоит из двух частей. В случае двусторонней критической области границы ее частей K_кр1 и K_кр2 определяются таким образом, чтобы выполнялось условие:

P(K £ K_кр) = P(K ³ K_кр) = a / 2.

На рисунке 3. площадь каждой из заштрихованных фигур равна a / 2.

Вид критической области зависит от того, какая гипотеза выдвинута в качестве конкурирующей.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу H₀, когда она верна, то есть совершить ошибку первого рода. Но с уменьшением уровня значимости расширяется область принятия гипотезы H₀ и увеличивается вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда она неверна, то есть когда предпочтение должно быть отдано конкурирующей гипотезе.

Пусть при справедливости гипотезы H₀ статистический критерий K имеет плотность распределения p₀(x), а при справедливости конкурирующей гипотезы H₁ – плотность распределения p₁(x). Графики этих функций приведены на рисунке 4. При некотором уровне значимости находится критическое значение K_кр и правосторонняя критическая область. Если значение K_в, определенное по выборочным данным, оказывается меньше, чем K_кр, то гипотеза H₀ принимается. Предположим, что справедлива на самом деле конкурирующая гипотеза H₁. Тогда вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы H₀ есть некоторое число b, равное площади фигуры, образованной графиком функции p₁(x) и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей слева от точки K_кр. Очевидно, что b – это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза H₀.

Принятие неверной гипотезы называется ошибкой второго рода. В рассмотренном случае число b – это вероятность ошибки второго рода. Число 1 – b, равное вероятности того, что не совершается ошибка второго рода, называется мощностью критерия. На рисунке 4 мощность критерия равна площади фигуры, образованной графиком функции p₁(x).и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей справа от точки K_кр.

Выбор статистического критерия и вида критической области осуществляется таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.