Степенные ряды(понятие степенного ряда, теорема Абеля, интервал и радиус сходимости ряда)

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды, имеющие вид

, (3)

где - коэффициенты степенного ряда. Заметим, что степенные ряды более общего вида

(4)

где - некоторое число, с помощью простой замены приводится к ряду (3). Очевидно, что точка является точкой сходимости степенного ряда (3).

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд сходится при , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству . 2. Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех , удовлетворяющих неравенству .

Из этой теоремы следует, что если , то во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне этого интервала ряд расходится. Положим . Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3), а число - радиусом сходимости этого ряда. Если степенной ряд сходится в единственной точке , то считается, что ; если же степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то .

Замечание 5. На концах интервала ( ) сходимость ряда в каждом случае исследуется отдельно.

Замечание 6. Если рассматривается степенной ряд общего вида (4), то интервал сходимости имеет вид .

Свойства степенных рядов.